2015年湖南（理科）

本卷为官方高考数学真题（2015年湖南（理科）），共 21 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 10 题）

1. 1. 已知(1 −i)2 z = 1 + i (i 为虚数单位), 则复数z = ( ) 5分
   A. 1 + i B. 1 −i C. −1 + i D. −1 −i
2. 2. 设A, B 是两个集合, 则“A ∩B = A”是“A ⊆B”的 ( ) 5分
   A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 3. 执行如图所示的程序框图, 如果输入n = 3, 则输出的S = ( ) 开始 输入n i = 1, S = 0 S = S + 1 (2i −1)(2i + 1) i = i + 1 i > n? 输出S 结束 是 否 7 7 9 9 5分
   A. 6 B. 3 C. 8 D. 4
4. 4. 若变量x, y 满足约束条件        x + y ⩾−1, 2x −y ⩽1, y ⩽1, 则z = 3x −y 的最小值为( ) 5分
   A. −7 B. −1 C. 1 D. 2
5. 5. 设函数f (x) = ln (1 + x) −ln (1 −x), 则f (x) 是 ( ) 5分
   A. 奇函数, 且在(0, 1) 是增函数 B. 奇函数, 且在(0, 1) 是减函数 C. 偶函数, 且在(0, 1) 是增函数 D. 偶函数, 且在(0, 1) 是减函数
6. 6. 已知 (√x −a √x )5 的展开式中含x 3 2 的项的系数为30, 则a = ( ) (A) √ 3 √ 3 5分
   B. − C. 6 D. −6
7. 7. 在如图所示的正方形中随机投掷10000 个点, 则落入阴影部分(曲线C 为 正态分布N (0, 1) 的密度曲线) 的点的个数的估计值为 ( ) x y C 1 1 O 附: 若X ∼N (µ, σ2), 则P(µ −σ < X ⩽µ + σ) = 0.6826, P(µ −2σ < X ⩽µ + 2σ) = 0.9544. 5分
   A. 2386 B. 2718 C. 3413 D. 4772
8. 8. 已知点A, B, C 在圆x2 + y2 = 1 上运动, 且AB ⊥BC. 若点P 的坐标 为(2, 0), 则 # » PA + # » PB + # » PC  的最大值为 ( ) 5分
   A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
9. 9. 将函数f (x) = sin 2x 的图象向右平移φ ( 0 < φ < π 2 ) 个单位后得到函数 3 , 则φ = ( ) 12 3 4 6 5分
   G. (x) 的图象, 若对满足|f (x1) −g (x2)| = 2 的x1, x2, 有|x1 −x2|min = π A. 5π B. π C. π D. π
10. 10. 某工件的三视图如图所示, 现将该工件通过切削, 加工成一个体积尽可能 大的长方体新工件, 并使新工件的一个面落在原工件的一个面内, 则原工 件材料的利用率为(材料的利用率= 新工件的体积 原工件的体积) ( ) 2 2 2 1 1 2 正视图 俯视图 侧视图 9π 9π (√ 2 −1 )3 π (√ 2 −1 )3 π 5分
    A. 8 B. 16 C. 4 D. 12

填空题（每题 5 分）（共 5 题）

1. 1. ∫2 0 (x −1) dx = . 5分
2. 2. 在一次马拉松比赛中, 35 名运动员的成绩(单位: 分钟) 茎叶图如图所示. 13 0 0 3 4 5 6 6 8 8 8 9 14 1 1 1 2 2 2 3 3 4 4 5 5 5 6 6 7 8 15 0 1 2 2 3 3 3 若将运动员按成绩由好到差编为1 ∼35 号, 再用系统抽样的方法从中抽取 7 人, 则其中成绩在区间[139, 151] 上的运动员的人数是 . 5分
3. 3. 设F 是双曲线C: x2 a2 −y2 b2 = 1 的一个焦点, 若C 上存在点P, 使线段 PF 的中点恰为其虚轴的一个端点, 则C 的离心率为 . 5分
4. 4. 设Sn 为等比数列{an} 的前n 项和, 若a1 = 1, 且3S1, 2S2, S3 成等差数 列, 则an = . 5分
5. 5. 已知函数f (x) = { x3, x ⩽a, x2, x > a, 若存在实数b, 使函数g (x) = f (x) −b 有 两个零点, 则a 的取值范围是 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 三选二. 【A】如图, 在⊙O 中, 相交于点E 的两弦AB, CD 的中点分别是M, N, 直线MO 与直线CD 相交于点F. 证明: (1) ∠MEN + ∠NOM = 180◦; (2) FE · FN = FM · FO. A E O N F M B C D • 【B】已知直线l :      x = 5 + √ 3 2 t, y = √ 3 + 1 2t, (t 为参数), 以坐标原点为极点, x 轴的正 半轴为极轴建立极坐标系, 曲线C 的极坐标方程为ρ = 2 cos θ. (1) 将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2) 设点M 的直角坐标为 ( 5, √ 3 ) , 直线l 与曲线C 的交点为A, B, 求 |MA| · |MB| 的值. 【C】设a > 0, b > 0, 且a + b = 1 b, 证明: (1) a + b ⩾2; (2) a2 + a < 2 与b2 + b < 2 不可能同时成立. 955
2. 2. 设△ABC 的内角A, B, C 的对边分别为a, b, c, a = b tan A, 且B 为钝 角. (1) 证明: B −A = π 2 ; (2) 求sin A + sin C 的取值范围.
3. 3. 某商场举行有奖促销活动, 顾客购买一定金额的商品后即可抽奖, 每次抽 奖都是从装有4 个红球、6 个白球的甲箱和装有5 个红球、5 个白球的乙 箱中, 各随机摸出1 个球. 在摸出的2 个球中, 若都是红球, 则获一等奖; 若只有1 个红球, 则获二等奖; 若没有红球, 则不获奖. (1) 求顾客抽奖1 次能获奖的概率; (2) 若某顾客有3 次抽奖的机会, 记该顾客在3 次抽奖中获一等奖的次数 为X, 求X 的分布列和数学期望.
4. 4. 如图, 已知四棱台ABCD −A1B1C1D1 的上、下底面分别是边长为3 和6 的正方形, AA1 = 6, 且AA1 ⊥底面ABCD, 点P, Q 分别在棱DD1, BC 上. (1) 若点P 是DD1 的中点, 证明: AB1 ⊥PQ; (2) 若PQ 平面ABB1A1, 二面角P −QD −A 的余弦值为3 7, 求四面 体ADPQ 的体积. A A1 P Q B B1 C C1 D D1
5. 5. 已知抛物线C1: x2 = 4y 的焦点F 也是椭圆C2: y2 a2 + x2 b2 = 1 (a > b > 0) 的一个焦点, C1 与C2 的公共弦长为2 √ 6. (1) 求C2 的方程; (2) 过点F 的直线l 与C1 相交于A, B 两点, 与C2 相交于C, D 两点, 且# » AC 与# » BD 同向. ①若|AC| = |BD|, 求直线l 的斜率; ②设C1 在点A 处的切线与x 轴的交点为M, 证明: 直线l 绕点F 旋转时, △MFD 总是钝角三角形.
6. 6. 已知a > 0, 函数f (x) = eax sin x (x ∈[0, +∞)), 记xn 为f (x) 的从小到 大的第n (n ∈N∗) 个极值点. 证明: (1) 数列{f (xn)} 是等比数列; (2) 若a ⩾ 1 √ e2 −1, 则对一切n ∈N∗, xn < |f (xn)| 恒成立. 956

原卷配图（含真实几何/应用题图示）