2015年福建（文科）

本卷为官方高考数学真题（2015年福建（文科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 若(1 + i) + (2 −3i) = a + bi (a, b ∈R, i 是虚数单位), 则a, b 的值分别等 于 ( ) 5分
   A. 3, −2 B. 3, 2 C. 3, −3 D. −1, 4
2. 2. 若集合M = {x | −2 ⩽x < 2}, N = {0, 1, 2}, 则M ∩N 等于 ( ) 5分
   A. {0} B. {1} C. {0, 1, 2} D. {0, 1}
3. 3. 下列函数为奇函数的是 ( ) 5分
   A. y = √x B. y = ex C. y = cos x D. y = ex −e−x
4. 4. 阅读如图所示的程序框图, 运行相应的程序, 若输入x 的值为1, 则输出y 的值为 ( ) 开始 输入x x ⩾2? y = 2x y = 9 −x 输出y 结束 是 否 5分
   A. 2 B. 7 C. 8 D. 128
5. 5. 若直线x ) 5分
   A. + y B. = 1 (a > 0, b > 0) 过点(1, 1), 则a + b 的最小值等于( A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
6. 6. 若sin α = −5 13, 且α 为第四象限角, 则tan α 的值等于 ( ) 5 5 12 12 5分
   A. 12 B. −12 C. 5 D. −5
7. 7. 设a = (1, 2), b = (1, 1), c = a + kb. 若b ⊥c, 则实数k 的值等于 ( ) 2 3 3 2 5分
   A. −3 B. −5 C. 5 D. 3
8. 8. 如图, 矩形ABCD 中, 点A 在x 轴上, 点B 的坐标为(1, 0), 且点C 与点    x + 1, x ⩾0, −1 2x + 1, x < 0, 的图象上. 若在矩形ABCD 内随 机取一点, 则此点取自阴影部分的概率等于 ( ) A B x y D C O 6 4 8 2 5分
   D. 在函数f (x) = A. 1 B. 1 C. 3 D. 1
9. 9. 某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的表面积等于 ( ) 1 2 1 1 正视图 俯视图 侧视图 √ 2 √ 2 √ 2 5分
   A. 8 + 2 B. 11 + 2 C. 14 + 2 D. 15
10. 10. 变量x, y 满足约束条件        x + y ⩾0, x −2y + 2 ⩾0, mx −y ⩽0, 若z = 2x −y 的最大值为2, 则 实数m 等于 ( ) 5分
    A. −2 B. −1 C. 1 D. 2
11. 11. 已知椭圆E: x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 的右焦点为F, 短轴的一个端点为 M, 直线l: 3x −4y = 0 交椭圆E 于A, B 两点. 若|AF| + |BF| = 4, 点 M 到直线l 的距离不小于4 5, 则椭圆E 的离心率的取值范围是 ( ) (A) ( 0, √ 3 2 ] (B) ( 0, 3 4 ] (C) [√ 3 2 , 1 ) (D) [3 4, 1 ) 5分
12. 12. “对任意x ∈ ( 0, π 2 ) , k sin x cos x < x”是“k < 1”的 ( ) 5分
    A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 某校高一年级有900 名学生, 其中女生400 名, 按男女比例用分层抽样的 方法, 从该年级学生中抽取一个容量为45 的样本, 则应抽取的男生人数 为 . 5分
2. 2. 若△ABC 中, AC = √ 3, A = 45◦, C = 75◦, 则BC = . 5分
3. 3. 若函数f (x) = 2|x−a| (a ∈R) 满足f (1 + x) = f (1 −x), 且f (x) 在 [m, +∞) 上单调递增, 则实数m 的最小值等于 . 5分
4. 4. 若a, b 是函数f (x) = x2 −px + q (p > 0, q > 0) 的两个不同的零点, 且a, b, −2 这三个数可适当排序后成等差数列, 也可适当排序后成等比数列, 则 p + q 的值等于 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 等差数列{an} 中, a2 = 4, a4 + a7 = 15. (1) 求数列{an} 的通项公式; (2) 设bn = 2an−2 + n, 求b1 + b2 + b3 + · · · + b10 的值.
2. 2. 全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响力的综合指标. 根 据相关报道提供的全网传播2015 年某全国性大型活动的“省级卫视新闻 台”融合指数的数据, 对名列前20 名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行 分组统计, 结果如表所示. 组号 分组 频数 1 [4, 5) 2 2 [5, 6) 8 3 [6, 7) 7 4 [7, 8] 3 (1) 现从融合指数在[4, 5) 和[7, 8] 内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2 家 进行调研, 求至少有1 家的融合指数在[7, 8] 内的概率; (2) 根据分组统计表求这20 家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数. 945
3. 3. 已知点F 为抛物线E: y2 = 2px (p > 0) 的焦点, 点A (2, m) 在抛物线E 上, 且|AF| = 3. (1) 求抛物线E 的方程; (2) 已知点G (−1, 0), 延长AF 交抛物线E 于点B, 证明: 以点F 为圆心 且与直线GA 相切的圆, 必与直线GB 相切. x y O A B F G
4. 4. 如图, AB 是圆O 的直径, 点C 是圆O 上异于A, B 的点, PO 垂直于圆 O 所在的平面, 且PO = OB = 1. (1) 若D 为线段AC 的中点, 求证: AC ⊥平面PDO; (2) 求三棱锥P −ABC 体积的最大值; (3) 若BC = √ 2, 点E 在线段PB 上, 求CE + OE 的最小值. A E O P B C D
5. 5. 已知函数f (x) = 10 √ 3 sin x 2 cos x 2 + 10cos2 x 2. (1) 求函数f (x) 的最小正周期; (2) 将函数f (x) 的图象向右平移π 6 个单位长度, 再向下平移a (a > 0) 个 单位长度后得到函数g (x) 的图象, 且函数g (x) 的最大值为2. ①求函数g (x) 的解析式; ②证明: 存在无穷多个互不相同的正整数x0, 使得g (x0) > 0.
6. 6. 已知函数f (x) = ln x −(x −1)2 2 . (1) 求函数f (x) 的单调递增区间; (2) 证明: 当x > 1 时, f (x) < x −1; (3) 确定实数k 的所有可能取值, 使得存在x0 > 1, 当x ∈(1, x0), 恒有 946

原卷配图（含真实几何/应用题图示）