2015年福建（理科）

本卷为官方高考数学真题（2015年福建（理科）），共 23 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 10 题）

1. 1. 若集合A = {i, i2, i3, i4} (i 是虚数单位), B = {1, −1}, 则A ∩B = ( ) 5分
   A. {−1} B. {1} C. {1, −1} D. ∅
2. 2. 下列函数为奇函数的是 ( ) 5分
   A. y = √x B. y = |sin x| C. y = cos x D. y = ex −e−x
3. 3. 若双曲线E: x2 9 −y2 16 = 1 的左、右焦点分别为F1, F2, 点P 在双曲线E 上, 且|PF1| = 3, 则|PF2| 等于 ( ) 5分
   A. 11 B. 9 C. 5 D. 3
4. 4. 为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系, 随机调查了该社区5 户 家庭, 得到如下统计数据表: 收入x (万元) 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 支出y (万元) 6.2 7.5 8.0 8.5 9.8 根据上表可得回归直线方程ˆy = ˆbx + ˆa, 其中ˆb = 0.76, ˆa = y −ˆbx. 据此估 计, 该社区一户年收入为15 万元家庭的年支出为 ( ) 5分
   A. 11.4 万元 B. 11.8 万元 C. 12.0 万元 D. 12.2 万元
5. 5. 若变量x, y 满足约束条件        x + 2y ⩾0, x −y ⩽0, x −2y + 2 ⩾0, 则z = 2x −y 的最小值等 于 ( ) 2 2 5分
   A. −5 B. −2 C. −3 D. 2
6. 6. 阅读如图所示的程序框图, 运行相应的程序, 则输出的结果为 ( ) 开始 i = 1 S = 0 S = S + cos iπ 2 i = i + 1 i > 5? 输出S 结束 是 否 5分
   A. 2 B. 1 C. 0 D. −1
7. 7. 若l, m 是两条不同的直线, m 垂直于平面α, 则“l ⊥m”是“l α”的 ( ) 5分
   A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
8. 8. 若a, b 是函数f (x) = x2 −px + q (p > 0, q > 0) 的两个不同的零点, 且a, b, −2 这三个数可适当排序后成等差数列, 也可适当排序后成等比数列, 则 p + q 的值等于 ( ) 5分
   A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
9. 9. 已知# » AB ⊥# » AC, # » AB  = 1 t , # » AC  = t. 若点P 是△ABC 所在平面内的一 点. 且# » AP = # » AB # » AB  + 4# » AC # » AC  , 则# » PB · # » PC 的最大值等于 ( ) 5分
   A. 13 B. 15 C. 19 D. 21
10. 10. 若定义在R 上的函数f (x) 满足f (0) = −1, 其导函数f ′ (x) 满足 ( ) (1 k ) < 1 k (1 k ) > 1 k −1 ( 1 k −1 ) < 1 k −1 ( 1 k −1 ) > k k −1 5分
    F. ′ (x) > k > 1, 则下列结论中一定错误的是 A. f B. f C. f D. f

填空题（每题 5 分）（共 5 题）

1. 1. (x + 2)5 的展开式中, x2 的系数等于 . (用数字作答) 5分
2. 2. 若锐角△ABC 的面积为10 √ 3, 且AB = 5, AC = 8, 则BC 等于 . 5分
3. 3. 如图, 点A 的坐标为(1, 0), 点C 的坐标为(2, 4), 函数f (x) = x2. 若在矩 形ABCD 内随机取一点, 则此点取自阴影部分的概率等于 . A B x y D C O f(x) = x2 5分
4. 4. 若函数f (x) = { −x + 6, x ⩽2, 3 + logax, x > 2, 则实数a 的取值范围是 . 5分
   A. > 0, 且a̸ = 1) 的值域是[4, +∞),
5. 5. 一个二元码是由0 和1 组成的数字串x1x2 · · · xn (n ∈N∗), 其中xk (k = 1, 2, · · · , n) 称为第k 位码元. 二元码是通信中常用的码, 但在通信过程中有 时会发生码元错误(即码元由0 变为1, 或者由1 变为0). 已知某种二元 码x1x2 · · · x7 的码元满足如下校验方程组:        x4 ⊕x5 ⊕x6 ⊕x7 = 0, x2 ⊕x3 ⊕x6 ⊕x7 = 0, x1 ⊕x3 ⊕x5 ⊕x7 = 0, 其中 运算⊕定义为: 0 ⊕0 = 0, 0 ⊕1 = 1, 1 ⊕0 = 1, 1 ⊕1 = 0. 现已知一个这 种二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了1101101, 那么 利用上述校验方程组可判定k 等于 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 8 题）

1. 1. 某银行规定, 一张银行卡若在一天内出现3 次密码尝试错误, 该银行卡将 被锁定. 小王到该银行取钱时, 发现自己忘记了银行卡的密码, 但可以确认 该银行卡的正确密码是他常用的6 个密码之一, 小王决定从中不重复地随 机选择1 个进行尝试. 若密码正确, 则结束尝试; 否则继续尝试, 直至该银 行卡被锁定. (1) 求当天小王的该银行卡被锁定的概率; (2) 设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X, 求X 的分布列和数学期 望.
2. 2. 如图, 在几何体ABCDE 中, 四边形ABCD 是矩形, AB ⊥平面BEC, BE ⊥EC, AB = BE = EC = 2, G, F 分别是线段BE, DC 的中点. (1) 求证: GF 平面ADE; (2) 求平面AEF 与平面BEC 所成锐二面角的余弦值. A G F E B C D 943
3. 3. 已知椭圆E: x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 过点 ( 0, √ 2 ) , 且离心率e = √ 2 2 . (1) 求椭圆E 的方程; (2) 设直线l: x = my −1 (m ∈R) 交椭圆E 于A, B 两点, 判断点 G ( −9 4, 0 ) 与以线段AB 为直径的圆的位置关系, 并说明理由. x y O G A B l •
4. 4. 已知函数f (x) 的图象是由函数g (x) = cos x 的图象经如下变换得到: 先 将g (x) 图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2 倍(横坐标不变), 再将所 得到的图象向右平移π 2 个单位长度. (1) 求函数f (x) 的解析式, 并求其图象的对称轴方程; (2) 已知关于x 的方程f (x) + g (x) = m 在[0, 2π) 内有两个不同的解α, β. ①求实数m 的取值范围; ②证明: cos (α −β) = 2m2 5 −1.
5. 5. 已知函数f (x) = ln (1 + x), g (x) = kx (k ∈R). (1) 证明: 当x > 0 时, f (x) < x; (2) 证明: 当k < 1 时, 存在x0 > 0, 使得对任意的x ∈(0, x0), 恒有 (3) 确定k 的所有可能取值, 使得存在t > 0, 对任意的x ∈(0, t), 恒有 |f (x) −g (x)| < x2.
6. 6. 已知矩阵A = ( 2 1 4 3 ) , B = ( 1 1 0 −1 ) . (1) 求A 的逆矩阵A−1; (2) 求矩阵C, 使得AC = B.
7. 7. 在平面直角坐标系xOy 中, 圆C 的参数方程为 { x = 1 + 3 cos t, y = −2 + 3 sin t, (t 为参 数). 在极坐标系(与平面直角坐标系xOy 取相同的长度单位, 且以原点O 为极点, 以x 轴非负半轴为极轴) 中, 直线l 的方程为 √ 2ρ sin ( θ −π 4 ) = m (m ∈R). (1) 求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程; (2) 设圆心C 到直线l 的距离等于2, 求m 的值.
8. 8. 已知a > 0, b > 0, c > 0, 函数f (x) = |x + a| + |x −b| + c 的最小值为4. (1) 求a + b + c 的值; (2) 求1 4a2 + 1 9b2 + c2 的最小值. 944

原卷配图（含真实几何/应用题图示）