2015年重庆（文科）

本卷为官方高考数学真题（2015年重庆（文科）），共 21 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 10 题）

1. 1. 已知集合A = {1, 2, 3}, B = {1, 3}, 则A ∩B = ( ) 5分
   A. {2} B. {1, 2} C. {1, 3} D. {1, 2, 3}
2. 2. “x = 1”是“x2 −2x + 1 = 0”的 ( ) 5分
   A. 充要条件 B. 充分而不必要条件 C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 3. 函数f (x) = log2 (x2 + 2x −3) 的定义域是 ( ) 5分
   A. [−3, 1] B. (−3, 1) C. (−∞, −3] ∪[1, +∞) D. (−∞, −3) ∪(1, +∞)
4. 4. 重庆市2013 年各月的平均气温(◦C) 数据的茎叶图如下: 0 8 9 1 2 5 8 2 0 0 3 3 8 3 1 2 则这组数据的中位数是 ( ) 5分
   A. 19 B. 20 C. 21.5 D. 23
5. 5. 某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积 ( ) 2 2 1 1 1 正视图 俯视图 左视图 3 + 2π 6 3 2 5分
   A. 1 B. 13π C. 7π D. 5π
6. 6. 若tan α = 1 3, tan (α + β) = 1 2, 则tan β = ( ) 7 6 7 6 5分
   A. 1 B. 1 C. 5 D. 5
7. 7. 已知非零向量a, b 满足|b| = 4|a|, 且a ⊥(2a + b), 则a 与b 的夹角 为 ( ) 3 2 3 6 5分
   A. π B. π C. 2π D. 5π
8. 8. 执行如图所示的程序框图, 则输出s 的值为 ( ) 开始 s = 0, k = 0 s = s + 1 k k = k + 2 k < 8 输出s 结束 否 是 4 6 12 24 5分
   A. 3 B. 5 C. 11 D. 25
9. 9. 设双曲线x2 a2 −y2 b2 = 1 (a > 0, b > 0) 的右焦点是F, 左、右顶点分别是 A1, A2, 过F 作A1A2 的垂线与双曲线交于B, C 两点. 若A1B ⊥A2C, 则该双曲线的渐近线的斜率为 ( ) 2 √ 2 2 √ 2 5分
   A. ±1 B. ± C. ±1 D. ±
10. 10. 若不等式组        x + y −2 ⩽0, x + 2y −2 ⩾0, x −y + 2m ⩾0 表示的平面区域为三角形, 且其面积等于4 3, 则m 的值为 ( ) 3 5分
    A. −3 B. 1 C. 4 D. 3

填空题（每题 5 分）（共 5 题）

1. 1. 复数(1 + 2i) i 的实部为 . 5分
2. 2. 若点P (1, 2) 在以坐标原点为圆心的圆上, 则该圆在点P 处的切线方程 为 . 5分
3. 3. 设△ABC 的内角A, B, C 的对边分别为a, b, c, 且a = 2, cos C = −1 4, 3 sin A = 2 sin B, 则c = . 5分
4. 4. 设a, b > 0, a + b = 5, 则√a + 1 + √ . 5分
   B. + 3 的最大值为
5. 5. 在区间[0, 5] 上随机地选择一个数p, 则方程x2 + 2px + 3p −2 = 0 有两个 负根的概率为 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 已知等差数列{an} 满足a3 = 2, 前3 项和S3 = 9 2. (1) 求{an} 的通项公式; (2) 设等比数列{bn} 满足b1 = a1, b4 = a15, 求{bn} 的前n 项和Tn.
2. 2. 随着我国经济的发展, 居民的储蓄存款逐年增长. 设某地区城乡居民人民 币储蓄存款(年底余额) 如下表: 年份 2010 2011 2012 2013 2014 时间代号t 1 2 3 4 5 储蓄存款y (千亿元) 5 6 7 8 10 (1) 求y 关于t 的回归方程ˆy = ˆbt + ˆa; (2) 用所求回归方程预测该地区2015 年(t = 6) 的人民币储蓄存款. 附: 回归方程ˆy = ˆbt + ˆa 中, ˆb = n∑ i=1 tiyi −nty n∑ i=1 t2 i −nt 2 , ˆa = y −ˆbt. 941
3. 3. 已知函数f (x) = 1 2 sin 2x − √ 3 cos2 x. (1) 求f (x) 的最小正周期和最小值; (2) 将函数f (x) 的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍, 纵坐标不 变, 得到函数g (x) 的图象, 当x ∈ [π 2 , π ] 时, 求g (x) 的值域.
4. 4. 已知函数f (x) = ax3 + x2 (a ∈R) 在x = −4 3 处取得极值. (1) 确定a 的值; (2) 若g (x) = f (x) ex, 讨论g (x) 的单调性.
5. 5. 如图, 三棱锥P −ABC 中, 平面PAC ⊥平面ABC, ∠ABC = π 2 , 点D, AB 上, 且EF BC. (1) 证明: AB ⊥平面PFE; (2) 若四棱锥P −DFBC 的体积为7, 求线段BC 的长. A D F P E B C
6. 6. 如图, 椭圆x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 的左、右焦点分别为F1, F2, 过F2 的 直线交椭圆于P, Q 两点, 且PQ ⊥PF1. (1) 若|PF1| = 2 + √ 2, |PF2| = 2 − √ 2, 求椭圆标准方程; (2) 若|PQ| = λ|PF1|, 且3 4 ⩽λ < 4 3, 试确定椭圆离心率e 的取值范围. x y O Q F1 F2 P 942

原卷配图（含真实几何/应用题图示）