本卷为官方高考数学真题（2015年重庆（理科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。
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1. 已知集合A = {1, 2, 3}, B = {2, 3}, 则 5分
A. A = B
B. A ∩B = ∅
C. A ⫋B
D. B ⫋A
-
2. 在等差数列{an} 中, 若a2 = 4, a4 = 2, 则a6 =
(
) 5分
A. −1
B. 0
C. 1
D. 6
-
3. 重庆市2013 年各月的平均气温(◦C) 数据的茎叶图如下:
0
8
9
1
2
5
8
2
0
0
3
3
8
3
1
2
则这组数据的中位数是
(
) 5分
A. 19
B. 20
C. 21.5
D. 23
-
4. “x > 1”是“log 1
2 (x + 2) < 0”的
(
) 5分
A. 充要条件
B. 充分不必要条件
C. 必要而不充分条件
D. 既不充分也不必要条件
-
5. 某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积
(
)
1
2
1
1
1
正视图
俯视图
左视图
3 + π
3 + π
3 + 2π
3 + 2π 5分
A. 1
B. 2
C. 1
D. 2
-
6. 若非零向量a, b 满足|a| = 2
√
2
3 |b|, 且(a −b) ⊥(3a + 2b), 则a 与b 的
夹角为
(
)
4
2
4 5分
A. π
B. π
C. 3π
D. π
-
7. 执行如图所示的程序框图, 若输出k 的值为8, 则判断框内可填入的条件
是
(
)
开始
s = 0, k = 0
s = s + 1
k
k = k + 2
输出k
结束
否
是
4
6
12
24 5分
A. s ⩽3
B. s ⩽5
C. s ⩽11
D. s ⩽25
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8. 已知直线l: x + ay −1 = 0 (a ∈R) 是圆C: x2 + y2 −4x −2y + 1 = 0 的
对称轴. 过点A (−4, a) 作圆C 的一条切线, 切点为B, 则|AB| =
(
)
√
2
√
10 5分
A. 2
B. 4
C. 6
D. 2
-
9. 若tan α = 2 tan π
5 , 则
cos
(
α −3π
10
)
sin
(
α −π
5
)
=
(
) 5分
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
-
10. 设双曲线x2
a2 −y2
b2 = 1 (a > 0, b > 0) 的右焦点为F, 右顶点为A, 过F
作AF 的垂线与双曲线交于B, C 两点, 过B, C 分别作AC, AB 的垂线,
两垂线交于点D. 若D 到直线BC 的距离小于a +
√
a2 + b2, 则该双曲线
的渐近线斜率的取值范围是
(
)
(C)
(
−
√
2, 0
)
∪
(
0,
√
2
)
(D)
(
−∞, −
√
2
)
∪
(√
2, +∞
) 5分
A. (−1, 0) ∪(0, 1)
B. (−∞, −1) ∪(1, +∞)
-
1. 设复数a + bi (a, b ∈R) 的模为
√
3, 则(a + bi) (a −bi) =
. 5分
-
2. (
x3 +
1
2√x
)5
的展开式中x8 的系数是
. (用数字作答) 5分
-
3. 在△ABC 中, B = 120◦, AB =
√
2, A 的角平分线AD =
√
3, 则
AC =
. 5分
-
4. 如图, 圆O 的弦AB, CD 相交于点E, 过点A 作圆O 的切线与DC 的
延长线交于点P, 若PA = 6, AE = 9, PC = 3, CE : ED = 2 : 1, 则
BE =
.
A
D
P
O
E
B
C
• 5分
-
5. 已知直线l 的参数方程为
{
x = −1 + t,
y = 1 + t,
(t 为参数), 以坐标原点为极点,
x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线C 的极坐标方程为ρ2 cos 2θ =
4
(
ρ > 0, 3π
4 < θ < 5π
4
)
, 则直线l 与曲线C 的交点的极坐标为
. 5分
-
6. 若函数f (x) = |x + 1| + 2|x −a| 的最小值为5, 则实数a =
. 5分
-
1. 端午节吃棕子是我国的传统习俗. 设一盘中装有10 个棕子, 其中豆沙棕2
个, 肉棕3 个, 白棕5 个, 这三种棕子的外观完全相同从中任意选取3 个.
(1) 求三种棕子各取到1 个的概率;
(2) 设X 表示取到的豆沙棕个数, 求X 的分布列与数学期望.
-
2. 已知函数f (x) = sin
(π
2 −x
)
sin x −
√
3 cos2 x.
(1) 求f (x) 的最小正周期和最大值;
(2) 讨论f (x) 在
[π
6 , 2π
3
]
上的单调性.
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3. 如图, 三棱锥P −ABC 中, PC ⊥平面ABC, PC = 3, ∠ACB = π
2 . D,
√
2, CE = 2EB = 2.
(1) 证明: DE ⊥平面PCD;
(2) 求二面角A −PD −C 的余弦值.
A
P
E
B
C
D
-
4. 设函数f (x) = 3x2 + ax
ex
(1) 若f (x) 在x = 0 处取得极值, 确定a 的值, 并求此时曲线y = f (x)
在点(1, f (1)) 处的切线方程;
(2) 若f (x) 在[3, +∞) 上为减函数, 求a 的取值范围.
-
5. 如图, 椭圆x2
a2 + y2
b2 = 1 (a > b > 0) 的左、右焦点分别为F1, F2, 过F2 的
直线交椭圆于P, Q 两点, 且PQ ⊥PF1.
(1) 若|PF1| = 2 +
√
2, |PF2| = 2 −
√
2, 求椭圆标准方程;
(2) 若|PF1| = |PQ|, 求椭圆的离心率e.
x
y
O
Q
F1
F2
P
-
6. 在数列{an} 中, a1 = 3, an+1an + λan+1 + µa2
n = 0 (n ∈N+).
(1) 若λ = 0, µ = −2, 求数列{an} 的通项公式;
(2) 若λ = 1
k0
(k0 ∈N+, k0 ⩾2), µ = −1, 证明: 2 +
1
3k0 + 1 < ak0+1 <
2 +
1
2k0 + 1.
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