2015年陕西（文科）

本卷为官方高考数学真题（2015年陕西（文科）），共 24 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 设集合M = {x | x2 = x}, N = {x | lg x ⩽0}, 则M ∪N = ( ) 5分
   A. [0, 1] B. (0, 1] C. [0, 1) D. (−∞, 1]
2. 2. 某中学初中部共有110 名教师, 高中部共有150 名教师, 其性别比例如图 所示, 则该校女教师的人数为 ( ) 男 (初中部) 女 70% 男 (高中部) 女 60% 5分
   A. 93 B. 123 C. 137 D. 167
3. 3. 已知抛物线y2 = 2px (p > 0) 的准线经过点(−1, 1), 则该抛物线焦点坐标 为 ( ) 5分
   A. (−1, 0) B. (1, 0) C. (0, −1) D. (0, 1)
4. 4. 设f (x) = { 1 −√x, x ⩾0, 2x, x < 0, 则f (f (−2)) = ( ) 4 2 2 5分
   A. −1 B. 1 C. 1 D. 3
5. 5. 一个几何体的三视图如图所示, 则该几何体的表面积为 ( ) 1 2 2 正视图 俯视图 左视图 5分
   A. 3π B. 4π C. 2π + 4 D. 3π + 4
6. 6. “sin α = cos α”是“cos 2α = 0”的 ( ) 5分
   A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要
7. 7. 根据框图, 当输入x 为6 时, 输出的y = ( ) 开始 输入x x = x −3 x ⩾0 y = x2 + 1 输出y 结束 否 是 5分
   A. 1 B. 2 C. 5 D. 10
8. 8. 对任意向量a, b, 下列关系式中不恒成立的是 ( ) 5分
   A. |a · b| ⩽|a| |b| B. |a −b| ⩽||a| −|b|| C. (a + b)2 = |a + b|2 D. (a + b) · (a −b) = a2 −b2
9. 9. 设f (x) = x −sin x, 则f (x) ( ) 5分
   A. 既是奇函数又是减函数 B. 既是奇函数又是增函数 C. 是有零点的减函数 D. 是没有零点的奇函数
10. 10. 设f (x) = ln x, 0 < a < b, 若p = f (√ ab ) , q = f 2 ) , r = 1 2 (f (a) + f (b)), 则下列关系式中正确的是 ( ) 5分
    A. + b A. q = r < p B. q = r > p C. p = r < q D. p = r > q
11. 11. 某企业生产甲、乙两种产品均需用A, B 两种原料, 已知生产1 吨每种产 品所需原料及每天原料的可用限额如表所示. 如果生产1 吨甲、乙产品可 获利润分别为3 万元、4 万元, 则该企业每天可获得最大利润为 ( ) 甲 乙 原料限额 3 2 12 1 2 8 5分
    A. (吨) B. (吨) A. 12 万元 B. 16 万元 C. 17 万元 D. 18 万元
12. 12. 设复数z = (x −1) + yi (x, y ∈R), 若|z| ⩽1, 则y ⩾x 的概率为 ( ) 4 + 1 2π 2 + 1 π 4 −1 2π 2 −1 π 5分
    A. 3 B. 1 C. 1 D. 1

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 中位数为1010 的一组数构成等差数列, 其末项为2015, 则该数列的首项 为 . 5分
2. 2. 如图, 某港口一天6 时到18 时的水深变化曲线近似满足函数y = 3 sin (π 6 x + φ ) + k. 据此函数可知, 这段时间水深(单位: m) 的最大值 为 . 时间/t x 6 18 y 水深/m 2 O 5分
3. 3. 函数y = xex 在其极值点处的切线方程为 . 5分
4. 4. 观察下列等式: 1 −1 2 = 1 2, 1 −1 2 + 1 3 −1 4 = 1 3 + 1 4, 1 −1 2 + 1 3 −1 4 + 1 5 −1 6 = 1 4 + 1 5 + 1 6, · · · · · · , 据此规律, 第n 个等式可为 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 8 题）

1. 1. △ABC 的内角A, B, C 所对的边分别为a, b, c. 向量m = ( a, √ 3b ) 与 n = (cos A, sin B) 平行. (1) 求A; (2) 若a = √ 7, b = 2, 求△ABC 的面积.
2. 2. 如图1, 在直角梯形ABCD 中, AD BC, ∠BAD = π 2 , AB = BC = 1 2AD = a, E 是AD 的中点, O 是AC 与BE 的交点. 将△ABE 沿BE 折起到图2 中△A1BE 的位置, 得到四棱锥A1 −BCDE. (1) 证明: CD ⊥平面A1OC; (2) 若平面A1BE ⊥平面BCDE, 四棱锥A1 −BCDE 的体积为36 √ 2, 求a 的值. B 图1 C A D E O 图2 E O A1(A) B C D 975
3. 3. 随机抽取一个年份, 对西安市该年4 月份的天气情况进行统计, 结果如下: 日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 天气 晴 雨 阴 阴 阴 雨 阴 晴 晴 晴 日期 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 天气 阴 晴 晴 晴 晴 晴 阴 雨 阴 阴 日期 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 天气 晴 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 雨 (1) 在4 月份任取一天, 估计西安市在该天不下雨的概率; (2) 西安市某学校拟从4 月份的一个晴天开始举行连续2 天的运动会, 估 计运动会期间不下雨的概率.
4. 4. 如图, 椭圆E: x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 经过点A (0, −1), 且离心率为 √ 2 2 . (1) 求椭圆E 的方程; (2) 经过点(1, 1), 且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P, Q (均 异于点A), 证明: 直线AP 与AQ 的斜率之和为2. x y O P A Q
5. 5. 设fn (x) = x + x2 + · · · + xn −1, x ⩾0, n ∈N, n ⩾2. (1) 求f ′ n (2); (2) 证明: fn (x) 在 ( 0, 2 3 ) 内有且仅有一个零点(记为an), 且 0 < an −1 2 < 1 3 (2 3 )n .
6. 6. 如图, AB 切⊙O 于点B, 直线AO 交⊙O 于D, E 两点, BC ⊥DE, 垂 足为C. (1) 证明: ∠CBD = ∠DBA; (2) 若AD = 3DC, BC = √ 2, 求⊙O 的直径. C O D A E B •
7. 7. 在直角坐标系xOy 中, 直线l 的参数方程为      x = 3 + 1 2t, y = √ 3 2 t, (t 为参数), 以原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, ⊙C 的极坐标方程为 ρ = 2 √ 3 sin θ. (1) 写出⊙C 的直角坐标方程; (2) P 为直线l 上一动点, 当P 到圆心C 的距离最小时, 求P 的直角坐 标.
8. 8. 已知关于x 的不等式|x + a| < b 的解集为{x | 2 < x < 4}. (1) 求实数a, b 的值; (2) 求√at + 12 + √ bt 的最大值. 976

原卷配图（含真实几何/应用题图示）