本卷为官方高考数学真题（2015年陕西（理科）），共 6 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。
解答题（分值见原卷）（共 6 题）
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1. 设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T, T 只与道路畅通状况有关,
对其容量为100 的样本进行统计, 结果如下:
T (分钟)
25
30
35
40
频数(次)
20
30
40
10
(1) 求T 的分布列与数学期望ET;
(2) 刘教授驾车从老校区出发, 前往新校区做一个50 分钟的讲座, 结束
后立即返回老校区, 求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过
120 分钟的概率.
-
2. 已知椭圆E: x2
a2 + y2
b2 = 1 (a > b > 0) 的半焦距为c, 原点O 到经过两点
(c, 0), (0, b) 的直线的距离为1
2c.
(1) 求椭圆E 的离心率;
(2) 如图, AB 是圆M: (x + 2)2 + (y −1)2 = 5
2 的一条直径, 若椭圆E 经
过A, B 两点, 求椭圆E 的方程.
x
y
O
B
A
M
•
-
3. 设fn (x) 是等比数列1, x, x2, · · · , xn 的各项和, 其中x > 0, n ∈N,
n ⩾2.
(1) 证明: 函数Fn (x) = fn (x) −2 在
(1
2, 1
)
内有且仅有一个零点(记为
xn), 且xn = 1
2 + 1
2xn+1
n
;
(2) 设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列, 其
各项和为gn (x), 比较fn (x) 和gn (x) 的大小, 并加以证明.
-
4. 如图, AB 切⊙O 于点B, 直线AO 交⊙O 于D, E 两点, BC ⊥DE, 垂
足为C.
(1) 证明: ∠CBD = ∠DBA;
(2) 若AD = 3DC, BC =
√
2, 求⊙O 的直径.
C
O
D
A
E
B
•
-
5. 在直角坐标系xOy 中, 直线l 的参数方程为
x = 3 + 1
2t,
y =
√
3
2 t,
(t 为参数),
以原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, ⊙C 的极坐标方程为
ρ = 2
√
3 sin θ.
(1) 写出⊙C 的直角坐标方程;
(2) P 为直线l 上一动点, 当P 到圆心C 的距离最小时, 求P 的直角坐
标.
-
6. 已知关于x 的不等式|x + a| < b 的解集为{x | 2 < x < 4}.
(1) 求实数a, b 的值;
(2) 求√at + 12 +
√
bt 的最大值.
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原卷配图（含真实几何/应用题图示）
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