2016年上海（理科）

本卷为官方高考数学真题（2016年上海（理科）），共 23 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

填空题（每题 5 分）（共 14 题）

1. 1. 设x ∈R, 则不等式|x −3| < 1 的解集为 . 5分
2. 2. 设z = 3 + 2i i , 其中i 为虚数单位, 则Im z = . 5分
3. 3. 已知平行直线l1: 2x + y −1 = 0, l2: 2x + y + 1 = 0, 则l1 与l2 的距离 是 . 5分
4. 4. 某次体检, 6 位同学的身高(单位: 米) 分别为1.72, 1.78, 1.75, 1.80, 1.69, 1.77, 则这组数据的中位数是 (米). 5分
5. 5. 已知点(3, 9) 在函数f (x) = 1 + ax 的图象上, 则f (x) 的反函数 . 5分
   F. −1 (x) =
6. 6. 如图, 在正四棱柱ABCD −A1B1C1D1 中, 底面ABCD 的边长为3, BD1 与底面所成角的大小为arctan 2 3, 则该正四棱柱的高等于 . A B C D A1 B1 C1 D1 5分
7. 7. 方程3 sin x = 1 + cos 2x 在区间[0, 2π] 上的解为 . 5分
8. 8. 在 ( 3√x −2 x )n 的二项展开式中, 所有项的二项式系数之和为256, 则常数 项等于 . 5分
9. 9. 已知△ABC 的三边长为3, 5, 7, 则该三角形的外接圆半径等于 . 5分
10. 10. 设a > 0, b > 0, 若关于x, y 的方程组 { ax + y = 1, x + by = 1 无解, 则a + b 的取 值范围是 . 5分
11. 11. 无穷数列{an} 由k 个不同的数组成, Sn 为{an} 的前n 项和, 若对任意 n ∈N∗, Sn ∈{2, 3}, 则k 的最大值为 . 5分
12. 12. 在平面直角坐标系中, 已知A (1, 0), B (0, −1), P 是曲线y = √ 1 −x2 上 一个动点, 则# » BP · # » BA 的取值范围是 . 5分
13. 13. 设a, b ∈R, c ∈[0, 2π), 若对任意实数x 都有2 sin ( 3x −π 3 ) = . 5分
    A. sin (bx + c), 则满足条件的有序实数组(a, b, c) 的组数为
14. 14. 如图, 在平面直角坐标系xOy 中, O 为正八边形A1A2 · · · A8 的中心, A1 (1, 0), 任取不同的两点Ai, Aj, 点P 满足# » OP + # » OAi + # » OAj = #»0 , 则点P 落在第一象限的概率是 . A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 • • • • • • • • • x y O 5分

选择题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 设a ∈R, 则“a > 1”是“a2 > 1”的 ( ) 5分
   A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件
2. 2. 下列极坐标方程中, 对应的曲线为下图的是 ( ) x O 5分
   A. ρ = 6 + 5 cos θ B. ρ = 6 + 5 sin θ C. ρ = 6 −5 cos θ D. ρ = 6 −5 sin θ
3. 3. 已知无穷等比数列{an} 的公比为q, 前n 项和为Sn, 且lim n→∞Sn = S, 下 列条件中, 使得2Sn < S (n ∈N∗) 恒成立的是 ( ) 5分
   A. a1 > 0, 0.6 < q < 0.7 B. a1 < 0, −0.7 < q < −0.6 C. a1 > 0, 0.7 < q < 0.8 D. a1 < 0, −0.8 < q < −0.7
4. 4. 设f (x), g (x), h (x) 是定义域为R 的三个函数, 对于命题: ①若 中至少有一个为增函数; ②若f (x) + g (x)、f (x) + h (x)、g (x) + h (x) 均 是以T 为周期的函数, 则f (x)、g (x)、h (x) 均是以T 为周期的函数, 下 列判断正确的是 ( ) 5分
   F. (x)+g (x)、f (x)+h (x)、g (x)+h (x) 均为增函数, 则f (x)、g (x)、h (x) A. ①和②均为真命题 B. ①和②均为假命题 C. ①为真命题, ②为假命题 D. ①为假命题, ②为真命题

解答题（分值见原卷）（共 5 题）

1. 1. 将边长为1 的正方形AA1O1O (及其内部) 绕OO1 旋转一周形成圆柱, 如 图, ˜ AC 长为2π 3 , ˘ A1B1 长为π 3 , 其中B1 与C 在平面AA1O1O 的同侧. (1) 求三棱锥C −O1A1B1 的体积. (2) 求异面直线B1C 与AA1 所成角的大小. O1 B1 A1 A C O
2. 2. 有一块正方形菜地EFGH, EH 所在直线是一条小河, 收获的蔬菜可送到 到河边较近, S2 中的蔬菜运到F 点较近, 而菜地内S1 和S2 的分界线C 上的点到河边与到F 点的距离相等, 现建立平面直角坐标系, 其中原点O 为EF 的中点, 点F 的坐标为(1, 0), 如图. (1) 求菜地内的分界线C 的方程. (2) 菜农从蔬菜运量估计出S1 面积是S2 面积的两倍, 由此得到S1 面积的 “经验值”为8 3. 设M 是C 上纵坐标为1 的点, 请计算以EH 为一边, 另 一边过点M 的矩形的面积, 及五边形EOMGH 的面积, 并判断哪一个更 接近于S1 面积的经验值. E H F G M S1 S2 • x y O 1015
3. 3. 双曲线x2 −y2 b2 = 1 (b > 0) 的左、右焦点分别为F1、F2, 直线l 过F2 且 与双曲线交于A、B 两点. (1) 若l 的倾斜角为π 2 , △F1AB 是等边三角形, 求双曲线的渐近线方程. (2) 设b = √ 3, 若l 的斜率存在, 且 (# » F1A + # » F1B ) · # » AB = 0, 求l 的斜率.
4. 4. 已知a ∈R, 函数f (x) = log2 (1 x + a ) . (1) 当a = 5 时, 解不等式f (x) > 0. (2) 若关于x 的方程f (x) −log2 [(a −4) x + 2a −5] = 0 的解集中恰有一 个元素, 求a 的取值范围. (3) 设a > 0, 若对任意t ∈ [1 2, 1 ] , 函数f (x) 在区间[t, t + 1] 上的最大值 和最小值的差不超过1, 求a 的取值范围.
5. 5. 若无穷数列{an} 满足: 只要ap = aq (p, q ∈N∗), 必有ap+1 = aq+1, 则 称{an} 具有性质P. (1) 若{an} 具有性质P. 且a1 = 1, a2 = 2, a4 = 3, a5 = 2, a6 + a7 + a8 = 21, 求a3. (2) 若无穷数列{bn} 是等差数列, 无穷数列{cn} 是公比为正数的等比数 列, b1 = c5 = 1, b5 = c1 = 81, an = bn + cn, 判断{an} 是否具有性质P, 并说明理由; (3) 设{bn} 是无穷数列, 已知an+1 = bn + sin an (n ∈N∗), 求证: “对任意 a1, {an} 都具有性质P”的充要条件为“{bn} 是常数列”. 1016

原卷配图（含真实几何/应用题图示）