2016年全国1（文科）

本卷为官方高考数学真题（2016年全国1（文科）），共 24 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 设集合A = {1, 3, 5, 7}, B = {x | 2 ⩽x ⩽5}, 则A ∩B = ( ) 5分
   A. {1, 3} B. {3, 5} C. {5, 7} D. {1, 7}
2. 2. 设(1 + 2i) (a + i) 的实部与虚部相等, 其中a 为实数, 则a = ( ) 5分
   A. −3 B. −2 C. 2 D. 3
3. 3. 为美化环境, 从红、黄、白、紫4 种颜色的花中任选2 种花种在一个花坛 中, 余下的2 种花种在另一个花坛中, 则红色和紫色的花不在同一花坛的 概率是 ( ) 3 2 3 6 5分
   A. 1 B. 1 C. 2 D. 5
4. 4. △ABC 的内角A, B, C 的对边分别为a, b, c. 已知a = √ 5, c = 2, cos A = 2 3, 则b = ( ) (A) √ 2 (B) √ 3 5分
   C. 2 D. 3
5. 5. 直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点, 若椭圆中心到l 的距离为其短轴 长的1 4, 则该椭圆的离心率为 ( ) 3 2 3 4 5分
   A. 1 B. 1 C. 2 D. 3
6. 6. 将函数y = 2 sin ( 2x + π 6 ) 的图象向右平移1 4 个周期后, 所得图象对应的 函数为 ( ) ( 2x + π 4 ) ( 2x + π 3 ) ( 2x −π 4 ) ( 2x −π 3 ) 5分
   A. y = 2 sin B. y = 2 sin C. y = 2 sin D. y = 2 sin
7. 7. 如图, 某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的 半径. 若该几何体的体积是28π 3 , 则它的表面积是 ( ) 5分
   A. 17π B. 18π C. 20π D. 28π
8. 8. 若a > b > 0, 0 < c < 1, 则 ( ) 5分
   A. loga c < logb c B. logc a < logc b C. ac < bc D. ca > cb
9. 9. 函数y = 2x2 −e|x| 在[−2, 2] 的图象大致为 ( ) (A) x 2 −2 y 1 O (B) x 2 −2 y 1 O (C) x 2 −2 y 1 O (D) x 2 −2 y 1 O 5分
10. 10. 执行下面的程序图, 如果输入的x = 0, y = 1, n = 1, 则输出x, y 的值满 足 ( ) 开始 输入x, y, n x = x + n −1 2 , y = ny n = n + 1 x2 + y2 ⩾36 输出x, y 结束 是 否 5分
    A. y = 2x B. y = 3x C. y = 4x D. y = 5x
11. 11. 平面α 过正方体ABCD −A1B1C1D1 的顶点A, α 平面CB1D1, α∩平 面ABCD = m, α∩平面ABB1A1 = n, 则m, n 所成角的正弦值为( ) (A) √ 3 2 (B) √ 2 2 (C) √ 3 3 3 5分
    D. 1
12. 12. 若函数f (x) = x −1 3 sin 2x + a sin x 在(−∞, +∞) 单调递增, 则a 的取值 范围是 ( ) (B) [ −1, 1 3 ] (C) [ −1 3, 1 3 ] (D) [ −1, −1 3 ] 5分
    A. [−1, 1]

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 设向量a = (x, x + 1), b = (1, 2), 且a ⊥b, 则x = . 5分
2. 2. 已知θ 是第四象限角, 且sin ( θ + π 4 ) = 3 5, 则tan ( θ −π 4 ) = . 5分
3. 3. 设直线y = x + 2a 与圆C: x2 + y2 −2ay −2 = 0 相交于A, B 两点, 若 |AB| = 2 √ 3, 则圆C 的面积为 . 5分
4. 4. 某高科技企业生产产品A 和产品B, 需要甲、乙两种新型材料. 生产一件 产品A 需要甲材料1.5 kg, 乙材料1 kg, 用5 个工时; 生产一件产品B 需 要甲材料0.5 kg, 乙材料0.3 kg, 用3 个工时, 生产一件产品A 的利润为 2100 元, 生产一件产品B 的利润为900 元. 该企业现有甲材料150 kg, 乙 材料90 kg, 则在不超过600 个工时的条件下, 生产产品A、产品B 的利 润之和的最大值为 元. 5分

解答题（分值见原卷）（共 8 题）

1. 1. 已知{an} 是公差为3 的等差数列, 数列{bn} 满足b1 = 1, b2 = 1 3, anbn+1 + bn+1 = nbn. (1) 求{an} 的通项公式; (2) 求{bn} 的前n 项和.
2. 2. 如图, 在已知正三棱锥P −ABC 的侧面是直角三角形, PA = 6, 顶点P 在平面ABC 内的正投影为点D, D 在平面PAB 内的正投影为点E, 连 接PE 并延长交AB 于点G. (1) 证明G 是AB 的中点; (2) 如图, 在图中作出点E 在平面PAC 内的正投影F (说明做法及理由), 并求四面体PDEF 的体积. A E G P B C D 1001
3. 3. 某公司计划购买1 台机器, 该种机器使用三年后即被淘汰, 机器有一易损 零件, 在购进机器时, 可以额外购买这种零件作为备件, 每个200 元. 在机 器使用期间, 如果备件不足再购买, 则每个500 元. 现需决策在购买机器时 应同时购买几个易损零件, 为此搜集并整理了100 台这种机器在三年试用 期内更换的易损零件数, 得下面柱状图: 频数 0 更换的易损零件数 6 16 24 20 10 16 17 18 19 20 21 记x 表示1 台机器在三年试用期内需更换的易损零件数, y 表示1 台机器 在购买易损零件上所需的费用(单位: 元), n 表示购机的同时购买的易损 零件数. (1) 若n = 19, 求y 与x 的函数解析式; (2) 若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5, 求n 的最小 值; (3) 假设这100 台机器在购机的同时每台都购买19 个易损零件或每台都 购买20 个易损零件, 分别计算这100 台机器在购买易损零件上所需费用 的平均数, 以此作为决策依据, 购买1 台机器的同时应购买19 个还是20 个易损零件?
4. 4. 在直角坐标系xOy 中, 直线l: y = t (t̸ = 0) 交y 轴于点M, 交抛物线C: y2 = 2px (p > 0) 于点P, M 关于点P 的对称点为N, 连接ON 并延长 交C 于点H. (1) 求|OH| |ON|; (2) 除H 以外, 直线MH 与抛物线C 是否有其它公共点? 说明理由.
5. 5. 已知函数f (x) = (x −2) ex + a (x −1)2. (1) 讨论f (x) 的单调性; (2) 若f (x) 有两个零点, 求a 的取值范围.
6. 6. 如图, △OAB 是等腰三角形, ∠AOB = 120◦, 以O 为圆心, 1 2OA 为半径 作圆. (1) 证明: 直线AB 与⊙O 相切; (2) 点C, D 在⊙O 上, 且A, B, C, D 四点共圆, 证明: AB CD. A O B C D
7. 7. 在直角坐标系xOy 中, 曲线C1 的参数方程为 { x = a cos t, y = 1 + a sin t, (t 为参数, ρ = 4 cos θ. (1) 说明C1 是哪种曲线, 并将C1 的方程化为极坐标方程; (2) 直线C3 的极坐标方程为θ = α0, 其中α0 满足tan α0 = 2, 若曲线C1 与C2 的公共点都在C3 上, 求a.
8. 8. 已知函数f (x) = |x + 1| −|2x −3|. (1) 在图中画出y = f (x) 的图象; (2) 求不等式|f (x)| > 1 的解集. x O 1 y 1 1002

原卷配图（含真实几何/应用题图示）