2016年全国1（理科）

本卷为官方高考数学真题（2016年全国1（理科）），共 24 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 设集合A = {x | x2 −4x + 3 < 0}, B = {x | 2x −3 > 0}, 则A ∩B =( ) (A) ( −3, −3 2 ) (B) ( −3, 3 2 ) (C) ( 1, 3 2 ) (D) (3 2, 3 ) 5分
2. 2. 设(1 + i) x = 1 + yi, 其中x, y 是实数, 则|x + yi| = ( ) (B) √ 2 (C) √ 3 5分
   A. 1 D. 2
3. 3. 已知等差数列{an} 前9 项的和为27, a10 = 8, 则a100 = ( ) 5分
   A. 100 B. 99 C. 98 D. 97
4. 4. 某公司的班车在7 : 30, 8 : 00, 8 : 30 发车, 小明在7 : 50 至8 : 30 之间到达 发车站乘坐班车, 且到达发车站的时刻是随机的, 则他等车时间不超过10 分钟的概率是 ( ) 3 2 3 4 5分
   A. 1 B. 1 C. 2 D. 3
5. 5. 已知方程 x2 m2 + n − y2 3m2 −n = 1 表示双曲线, 且该双曲线两焦点间的距 离为4, 则n 的取值范围是 ( ) (B) ( −1, √ 3 ) (D) ( 0, √ 3 ) 5分
   A. (−1, 3) C. (0, 3)
6. 6. 如图, 某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的 半径. 若该几何体的体积是28π 3 , 则它的表面积是 ( ) 5分
   A. 17π B. 18π C. 20π D. 28π
7. 7. 函数y = 2x2 −e|x| 在[−2, 2] 的图象大致为 ( ) (A) x 2 −2 y 1 O (B) x 2 −2 y 1 O (C) x 2 −2 y 1 O (D) x 2 −2 y 1 O 5分
8. 8. 若a > b > 1, 0 < c < 1, 则 ( ) 5分
   A. ac < bc B. abc < bac C. alogbc < blogac D. logac < logbc
9. 9. 执行下面的程序图, 如果输入的x = 0, y = 1, n = 1, 则输出x, y 的值满 足 ( ) 开始 输入x, y, n x = x + n −1 2 , y = ny n = n + 1 x2 + y2 ⩾36 输出x, y 结束 是 否 5分
   A. y = 2x B. y = 3x C. y = 4x D. y = 5x
10. 10. 以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A, B 两点, 交C 的准线于D, E 两点. 已知|AB| = 4 √ 2, |DE| = 2 √ 5, 则C 的焦点到准线的距离为 ( ) 5分
    A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
11. 11. 平面α 过正方体ABCD −A1B1C1D1 的顶点A, α 平面CB1D1, α∩平 面ABCD = m, α∩平面ABB1A1 = n, 则m, n 所成角的正弦值为( ) (A) √ 3 2 (B) √ 2 2 (C) √ 3 3 3 5分
    D. 1
12. 12. 已知函数f (x) = sin (ωx + φ) ( ω > 0, |φ| ⩽π 2 ) , x = −π 4 为f (x) 的零 点, x = π 4 为y = f (x) 图象的对称轴, 且f (x) 在 ( π 18, 5π 36 ) 单调, 则ω 的最大值为 ( ) 5分
    A. 11 B. 9 C. 7 D. 5

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 设向量a = (m, 1), b = (1, 2), 且|a + b|2 = |a|2 + |b|2, 则m = . 5分
2. 2. (2x + √x) 5 的展开式中, x3 的系数是 . (用数字填写答案) 5分
3. 3. 设等比数列满足a1+a3 = 10, a2+a4 = 5, 则a1a2 · · · an 的最大值为 . 5分
4. 4. 某高科技企业生产产品A 和产品B, 需要甲、乙两种新型材料. 生产一件 产品A 需要甲材料1.5 kg, 乙材料1 kg, 用5 个工时; 生产一件产品B 需 要甲材料0.5 kg, 乙材料0.3 kg, 用3 个工时, 生产一件产品A 的利润为 2100 元, 生产一件产品B 的利润为900 元. 该企业现有甲材料150 kg, 乙 材料90 kg, 则在不超过600 个工时的条件下, 生产产品A、产品B 的利 润之和的最大值为 元. 5分

解答题（分值见原卷）（共 8 题）

1. 1. △ABC 的内角A, B, C 的对边分别为a, b, c, 已知2 cos C(a cos B + (1) 求C; (2) 若c = √ 7, △ABC 的面积为3 √ 3 2 , 求△ABC 的周长.
2. 2. 如图, 在以A, B, C, D, E, F 为顶点的五面体中, 面ABEF 为正方形, AF = 2FD, ∠AFD = 90◦, 且二面角D −AF −E 与二面角C −BE −F 都是60◦. (1) 证明: 平面ABEF ⊥平面EFDC; (2) 求二面角E −BC −A 的余弦值. A E F B C D 999
3. 3. 某公司计划购买2 台机器, 该种机器使用三年后即被淘汰, 机器有一易损 零件, 在购进机器时, 可以额外购买这种零件作为备件, 每个200 元. 在机 器使用期间, 如果备件不足再购买, 则每个500 元. 现需决策在购买机器时 应同时购买几个易损零件, 为此搜集并整理了100 台这种机器在三年使用 期内更换的易损零件数, 得下面柱状图: 频数 0 更换的易损零件数 40 20 8 9 10 11 以这100 台机器更换的易损零件数的频率代替1 台机器更换的易损零件 数发生的概率, 记X 表示2 台机器三年内共需更换的易损零件数, n 表示 购买2 台机器的同时购买的易损零件数. (1) 求X 的分布列; (2) 若要求P (X ⩽n) ⩾0.5, 确定n 的最小值; (3) 以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据, 在n = 19 与n = 20 之中选其一, 应选用哪个?
4. 4. 设圆x2 + y2 + 2x −15 = 0 的圆心为A, 直线l 过点B (1, 0) 且与x 轴不 重合, l 交圆A 于C, D 两点, 过B 作AC 的平行线交AD 于点E. (1) 证明|EA| + |EB| 为定值, 并写出点E 的轨迹方程; (2) 设点E 的轨迹为曲线C1, 直线l 交C1 于M, N 两点, 过B 且与l 垂 直的直线与圆A 交于P, Q 两点, 求四边形MPNQ 面积的取值范围.
5. 5. 已知函数f (x) = (x −2) ex + a (x −1)2 有两个零点. (1) 求a 的取值范围; (2) 设x1, x2 是f (x) 的两个零点, 证明: x1 + x2 < 2.
6. 6. 如图, △OAB 是等腰三角形, ∠AOB = 120◦, 以O 为圆心, 1 2OA 为半径 作圆. (1) 证明: 直线AB 与⊙O 相切; (2) 点C, D 在⊙O 上, 且A, B, C, D 四点共圆, 证明: AB CD. A O B C D
7. 7. 在直角坐标系xOy 中, 曲线C1 的参数方程为 { x = a cos t, y = 1 + a sin t, (t 为参数, ρ = 4 cos θ. (1) 说明C1 是哪种曲线, 并将C1 的方程化为极坐标方程; (2) 直线C3 的极坐标方程为θ = α0, 其中α0 满足tan α0 = 2, 若曲线C1 与C2 的公共点都在C3 上, 求a.
8. 8. 已知函数f (x) = |x + 1| −|2x −3|. (1) 在图中画出y = f (x) 的图象; (2) 求不等式|f (x)| > 1 的解集. x O 1 y 1 1000

原卷配图（含真实几何/应用题图示）