2016年全国2（文科）

本卷为官方高考数学真题（2016年全国2（文科）），共 24 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 已知集合A = {1, 2, 3}, B = {x | x2 < 9}, 则A ∩B = ( ) 5分
   A. {−2, −1, 0, 1, 2, 3} B. {−2, −1, 0, 1, 2} C. {1, 2, 3} D. {1, 2}
2. 2. 设复数z 满足z + i = 3 −i, 则z = ( ) 5分
   A. −1 + 2i B. 1 −2i C. 3 + 2i D. 3 −2i
3. 3. 函数y = A sin (ωx + φ) 的部分图象如图所示, 则 ( ) x −π 6 π 3 y 2 −2 O ( 2x −π 6 ) ( 2x −π 3 ) ( x + π 6 ) ( x + π 3 ) 5分
   A. y = 2 sin B. y = 2 sin C. y = 2 sin D. y = 2 sin
4. 4. 体积为8 的正方体的顶点都在同一球面上, 则该球面的表面积为 ( ) 3 π 5分
   A. 12π B. 32 C. 8π D. 4π
5. 5. 设F 为抛物线C: y2 = 4x 的焦点, 曲线y = k x (k > 0) 与C 交于点P, PF ⊥x , 则k = ( ) 2 2 5分
   A. 1 B. 1 C. 3 D. 2
6. 6. 圆x2 + y2 −2x −8y + 13 = 0 的圆心到直线ax + y −1 = 0 的距离为1, 则a = ( ) 3 4 (C) √ 3 5分
   A. −4 B. −3 D. 2
7. 7. 如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图, 则该几何体的表面积 为 ( ) • 4 4 4 2 √ 3 5分
   A. 20π B. 24π C. 28π D. 32π
8. 8. 某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现, 红灯持续时间为40 秒. 若一名行人来到该路口遇到红灯, 则至少需要等待15 秒才出现绿灯的概 率为 ( ) 10 8 8 10 5分
   A. 7 B. 5 C. 3 D. 3
9. 9. 中国古代有计算多项式值的秦九韶算法, 如图是实现该算法的程序框图. 执行该程序框图, 若输入的x = 2, n = 2, 依次输入的a 为2, 2, 5, 则输出 的s = ( ) 开始 输入x, n k = 0, s = 0 输入a s = s · x + a k = k + 1 k > n 输出s 结束 是 否 5分
   A. 7 B. 12 C. 17 D. 34
10. 10. 下列函数中, 其定义域和值域分别与函数y = 10lg x 的定义域和值域相同 的是 ( ) 1 √x 5分
    A. y = x B. y = lg x C. y = 2x D. y =
11. 11. 函数f (x) = cos 2x + 6 cos (π 2 −x ) 的最大值为 ( ) 5分
    A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
12. 12. 已知函数f (x) (x ∈R) 满足f (x) = f (2 −x), 若函数y = |x2 −2x −3| 与y = f (x) 图象的交点为(x1, y1), (x2, y2), · · · , (xm, ym), 则 m ∑ i=1 xi =( ) 5分
    A. 0 B. m C. 2m D. 4m

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 已知向量a = (m, 4), b = (3, −2), 且a b, 则m = . 5分
2. 2. 若x, y 满足约束条件        x −y + 1 ⩾0, x + y −3 ⩾0, x −3 ⩽0, 则z = x −2y 的最小值为 . 5分
3. 3. △ABC 的内角A, B, C 的对边分别为a, b, c, 若cos A = 4 5, cos C = 5 13, . 5分
   A. = 1, 则b =
4. 4. 有三张卡片, 分别写有1 和2, 1 和3, 2 和3. 甲, 乙, 丙三人各取走一张卡 片, 甲看了乙的卡片后说: “我与乙的卡片上相同的数字不是2”, 乙看了丙 的卡片后说: “我与丙的卡片上相同的数字不是1”, 丙说: “我的卡片上的数 字之和不是5”, 则甲的卡片上的数字是 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 8 题）

1. 1. 等差数列{an} 中, a3 + a4 = 4, a5 + a7 = 6. (1) 求{an} 的通项公式; (2) 设bn = [an], 求数列{bn} 的前10 项和, 其中[x] 表示不超过x 的最大 整数, 如[0.9] = 0, [2.6] = 2.
2. 2. 某险种的基本保费为a (单位: 元), 继续购买该险种的投保人称为续保人, 续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下: 上年度出险次数 0 1 2 3 4 ⩾5 保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 随机调查了该险种的200 名续保人在一年内的出险情况, 得到如下统计表: 上年度出险次数 0 1 2 3 4 ⩾5 频数 60 50 30 30 20 10 (1) 记A 为事件: “一续保人本年度的保费不高于基本保费”. 求P (A) 的 估计值; (2) 记B 为事件: “一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费 的160%”. 求P (B) 的估计值; (2) 求续保人本年度的平均保费估计值. 1005
3. 3. 如图, 菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O, 点E, F 分别在AD, CD 上, AE = CF, EF 交BD 于点H, 将△DEF 沿EF 折到△D′EF 的位置. (1) 证明: AC ⊥HD′; (2) 若AB = 5, AC = 6, AE = 5 4, OD′ = 2 √ 2, 求五棱锥D′ −ABCFE 的体积. B E F O H D′ A C D
4. 4. 已知函数f (x) = (x + 1) ln x −a (x −1). (1) 当a = 4 时, 求曲线y = f (x) 在点(1, f (1)) 处的切线方程; (2) 若当x ∈(1, +∞) 时, f (x) > 0, 求a 的取值范围.
5. 5. 已知点A 是椭圆E: x2 4 + y2 3 = 1 的左顶点, 斜率为k (k > 0) 的直线交 椭圆E 于A, M 两点, 点N 在E 上, MA ⊥NA. (1) 当|AM| = |AN| 时, 求三角形AMN 的面积; (2) 当2 |AM| = |AN| 时, 证明: √ 3 < k < 2.
6. 6. 如图, 在正方形ABCD 中, E, G 分别在边DA, DC 上(不与端点重合), 且DE = DG, 过D 点作DF ⊥CE, 垂足为F. (1) 证明: B, C, G, F 四点共圆; (2) 若AB = 1, E 为DA 的中点, 求四边形BCGF 的面积. B E F G A C D
7. 7. 在直角坐标系xOy 中, 圆C 的方程为(x + 6)2 + y2 = 25. (1) 以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 求圆C 的极坐标 方程; (2) 直线l 的参数方程是 { x = t cos α, y = t sin α, (t 为参数), 直线l 与圆C 交于A, √ 10, 求l 的斜率.
8. 8. 已知函数f (x) = x −1 2  + x + 1 2 , M 为不等式f (x) < 2 的解集. (1) 求M; (2) 证明: 当a, b ∈M 时, |a + b| < |1 + ab|. 1006

原卷配图（含真实几何/应用题图示）