2016年全国2（理科）

本卷为官方高考数学真题（2016年全国2（理科）），共 24 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 已知z = (m + 3) + (m −1) i 在复平面内对应的点在第四象限, 则实数m 的取值范围是 ( ) 5分
   A. (−3, 1) B. (−1, 3) C. (1, +∞) D. (−∞, −3)
2. 2. 已知集合A = {1, 2, 3}, B = {x | (x + 1)(x −2) < 0, x ∈Z}, 则A ∪ ( ) 5分
   B. = A. {1} B. {1, 2} C. {0, 1, 2, 3} D. {−1, 0, 1, 2, 3}
3. 3. 已知向量a = (1, m), b = (3, −2), 且(a + b) ⊥b, 则m = ( ) 5分
   A. −8 B. −6 C. 6 D. 8
4. 4. 圆x2 + y2 −2x −8y + 13 = 0 的圆心到直线ax + y −1 = 0 的距离为1, 则a = ( ) 3 4 (C) √ 3 5分
   A. −4 B. −3 D. 2
5. 5. 如图, 小明从街道的E 处出发, 先到F 处与小红会合, 再一起到位于G 处 的老年公寓参加志愿者活动, 则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数 为 ( ) • • • F E G 5分
   A. 24 B. 18 C. 12 D. 9
6. 6. 如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图, 则该几何体的表面积 为 ( ) • 4 4 4 2 √ 3 5分
   A. 20π B. 24π C. 28π D. 32π
7. 7. 若将函数y = 2 sin 2x 的图象向左平移π 12 个单位长度, 则平移后图象的对 称轴为 ( ) 2 −π 6 (k ∈Z) 2 + π 6 (k ∈Z) 2 −π 12 (k ∈Z) 2 + π 12 (k ∈Z) 5分
   A. x = kπ B. x = kπ C. x = kπ D. x = kπ
8. 8. 中国古代有计算多项式值的秦九韶算法, 如图是实现该算法的程序框图. 执行该程序框图, 若输入的x = 2, n = 2, 依次输入的a 为2, 2, 5, 则输出 的s = ( ) 开始 输入x, n k = 0, s = 0 输入a s = s · x + a k = k + 1 k > n 输出s 结束 是 否 5分
   A. 7 B. 12 C. 17 D. 34
9. 9. 若cos (π 4 −α ) = 3 5, 则sin 2α = ( ) 25 5 5 25 5分
   A. 7 B. 1 C. −1 D. −7
10. 10. 从区间[0, 1] 随机抽取2n 个数x1, x2, · · · , xn, y1, y2, · · · , yn, 构成n 个 数对(x1, y1), (x2, y2), · · · , (xn, yn), 其中两数的平方和小于1 的数对共有 m 个, 则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为 ( ) m m n n 5分
    A. 4n B. 2n C. 4m D. 2m
11. 11. 已知F1, F2 是双曲线E: x2 a2 −y2 b2 = 1 的左、右焦点, 点M 在E 上, MF1 与x 轴垂直, sin ∠MF2F1 = 1 3, 则E 的离心率为 ( ) (A) √ 2 2 (C) √ 3 5分
    B. 3 D. 2
12. 12. 已知函数f (x) (x ∈R) 满足f (−x) = 2−f (x), 若函数y = x + 1 x 与y = m ∑ i=1 (xi + yi) = ( ) 5分
    F. (x) 图象的交点为(x1, y1), (x2, y2), · · · , (xm, ym), 则 A. 0 B. m C. 2m D. 4m

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. △ABC 的内角A, B, C 的对边分别为a, b, c, 若cos A = 4 5, cos C = 5 13, . 5分
   A. = 1, 则b =
2. 2. α, β 是两个平面, m, n 是两条线, 有下列四个命题: ①如果m ⊥n, m ⊥α, n β, 那么α ⊥β; ②如果m ⊥α, n α, 那么m ⊥n; ③如果α β, m ⊂α, 那么m β; ④如果m n, α β, 那么m 与α 所成的角和n 与β 所成的角相等. 则上述四个命题中真命题的是 . 5分
3. 3. 有三张卡片, 分别写有1 和2, 1 和3, 2 和3. 甲, 乙, 丙三人各取走一张卡 片, 甲看了乙的卡片后说: “我与乙的卡片上相同的数字不是2”, 乙看了丙 的卡片后说: “我与丙的卡片上相同的数字不是1”, 丙说: “我的卡片上的数 字之和不是5”, 则甲的卡片上的数字是 . 5分
4. 4. 若直线y = kx + b 是曲线y = ln x + 2 的切线, 也是曲线y = ln (x + 1) 的 切线, b = . 5分

解答题（分值见原卷）（共 8 题）

1. 1. Sn 为等差数列{an} 的前n 项和, 且a1 = 1, S7 = 28. 记bn = [lg an], 其 中[x] 表示不超过x 的最大整数, 如[0.9] = 0, [lg 99] = 1. (1) 求b1, b11, b101; (2) 求数列{bn} 的前1000 项和.
2. 2. 某险种的基本保费为a (单位: 元), 继续购买该险种的投保人称为续保人, 续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下: 上年度出险次数 0 1 2 3 4 ⩾5 保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下: 一年内出险次数 0 1 2 3 4 ⩾5 概率 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05 (1) 求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率; (2) 若一续保人本年度的保费高于基本保费, 求其保费比基本保费高出60% 的概率; (3) 求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值. 1003
3. 3. 如图, 菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O, AB = 5, AC = 6, 点 E, F 分别在AD, CD 上, AE = CF = 5 4, EF 交BD 于点H. 将三角形 DEF 沿EF 折到三角形D′EF 的位置OD′ = √ 10. (1) 证明: D′H ⊥平面ABCD; (2) 求二面角B −D′A −C 的正弦值. B E F O H D′ A C D
4. 4. 已知椭圆E: x2 t + y2 3 = 1 的焦点在x 轴上, A 是E 的左顶点, 斜率为k (k > 0) 的直线交E 于A, M 两点, 点N 在E 上, MA ⊥NA. (1) 当t = 4, |AM| = |AN| 时, 求三角形AMN 的面积; (2) 当2 |AM| = |AN| 时, 求k 的取值范围.
5. 5. (1) 讨论函数f (x) = x −2 x + 2 · ex 的单调性, 并证明当x > 0 时, (x −2) ex + x + 2 > 0; (2) 证明: 当a ∈[0, 1) 时, 函数g (x) = ex −ax −a x2 (x > 0) 有最小值. 设
6. 6. 如图, 在正方形ABCD 中, E, G 分别在边DA, DC 上(不与端点重合), 且DE = DG, 过D 点作DF ⊥CE, 垂足为F. (1) 证明: B, C, G, F 四点共圆; (2) 若AB = 1, E 为DA 的中点, 求四边形BCGF 的面积. B E F G A C D
7. 7. 在直角坐标系xOy 中, 圆C 的方程为(x + 6)2 + y2 = 25. (1) 以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 求圆C 的极坐标 方程; (2) 直线l 的参数方程是 { x = t cos α, y = t sin α, (t 为参数), 直线l 与圆C 交于A, √ 10, 求l 的斜率.
8. 8. 已知函数f (x) = x −1 2  + x + 1 2 , M 为不等式f (x) < 2 的解集. (1) 求M; (2) 证明: 当a, b ∈M 时, |a + b| < |1 + ab|. 1004

原卷配图（含真实几何/应用题图示）