2016年北京（文科）

本卷为官方高考数学真题（2016年北京（文科）），共 20 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 8 题）

1. 1. 已知集合A = {x | 2 < x < 4}, B = {x | x < 3 或x > 5}, 则A ∩B =( ) 5分
   A. {x | 2 < x < 5} B. {x | x < 4 或x > 5} C. {x | 2 < x < 3} D. {x | x < 2 或x > 5}
2. 2. 复数1 + 2i 2 −i = ( ) 5分
   A. i B. 1 + i C. −i D. 1 −i
3. 3. 执行如图所示的程序框图, 输出的s 值为 ( ) 开始 k = 0, s = 0 k = k + 1 s = s + k3 k ⩽2 输出s 结束 否 是 5分
   A. 8 B. 9 C. 27 D. 36
4. 4. 下列函数中, 在区间(−1, 1) 上为减函数的是 ( ) 1 1 −x 5分
   A. y = B. y = cos x C. y = ln (x + 1) (D) y = 2−x
5. 5. 圆(x + 1)2 + y2 = 2 的圆心到直线y = x + 3 的距离为 ( ) (C) √ 2 √ 2 5分
   A. 1 B. 2 D. 2
6. 6. 从甲、乙等5 名学生中随机选出2 人, 则甲被选中的概率为 ( ) 5 5 25 25 5分
   A. 1 B. 2 C. 8 D. 9
7. 7. 已知A (2, 5), B (4, 1). 若点P (x, y) 在线段AB 上, 则2x −y 的最大值 为 ( ) 5分
   A. −1 B. 3 C. 7 D. 8
8. 8. 某学校运动会的立定跳远和30 秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个 阶段, 下表为10 名学生的预赛成绩, 其中有三个数据模糊. 学生序号 1 2 3 4 5 立定跳远(单位: 米) 1.96 1.92 1.82 1.80 1.78 30 秒跳绳(单位: 次) 63 a 75 60 63 学生序号 6 7 8 9 10 立定跳远(单位: 米) 1.76 1.74 1.72 1.68 1.60 30 秒跳绳(单位: 次) 72 70 b 65 在这10 名学生中, 进入立定跳远决赛的有8 人, 同时进入立定跳远决赛和 30 秒跳绳决赛的有6 人, 则 ( ) 5分
   A. −1 A. 2 号学生进入30 秒跳绳决赛 B. 5 号学生进入30 秒跳绳决赛 C. 8 号学生进入30 秒跳绳决赛 D. 9 号学生进入30 秒跳绳决赛

填空题（每题 5 分）（共 6 题）

1. 1. 已知向量a = ( 1, √ 3 ) , b = (√ 3, 1 ) 则a 与b 夹角的大小为 . 5分
2. 2. 函数f (x) = x x −1 (x ⩾2) 的最大值为 . 5分
3. 3. 某四棱柱的三视图如图所示, 则该四棱柱的体积为 . 2 1 1 1 正(主) 视图 俯视图 侧(左) 视图 5分
4. 4. 已知双曲线x2 a2 −y2 b2 = 1 (a > 0, b > 0) 的一条渐近线为2x + y = 0, 一个 焦点为 (√ 5, 0 ) , 则a = ; b = . 5分
5. 5. 在△ABC 中, ∠A = 2π 3 , a = √ 3c, 则b . 5分
   C. =
6. 6. 某网店统计了连续三天售出商品的种类情况: 第一天售出19 种商品, 第二 天售出13 种商品, 第三天售出18 种商品; 前两天都售出的商品有3 种, 后 两天都售出的商品有4 种, 则该网店 ①第一天售出但第二天未售出的商品有 种; ②这三天售出的商品最少有 种. 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 已知{an} 是等差数列, {bn} 是等比数列, 且b2 = 3, b3 = 9, a1 = b1, a14 = b4. (1) 求{an} 的通项公式; (2) 设cn = an + bn, 求数列{cn} 的前n 项和.
2. 2. 已知函数f (x) = 2 sin ωx cos ωx + cos 2ωx (ω > 0) 的最小正周期为π. (1) 求ω 的值; (2) 求f (x) 的单调递增区间.
3. 3. 某市居民用水拟实行阶梯水价, 每人每月用水量中不超过w 立方米的部分 按4 元/立方米收费, 超出w 立方米的部分按10 元/立方米收费, 从该市 随机调查了10000 位居民, 获得了他们某月的用水量数据, 整理得到如图 频率分布直方图: 频率 组距 0 用水量(立方米) 0.2 0.4 0.5 0.3 0.1 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 (1) 如果w 为整数, 那么根据此次调查, 为使80% 以上居民在该月的用水 价格为4 元/立方米, w 至少定为多少? (2) 假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替, 当w = 3 时, 估计 该市居民该月的人均水费. 995
4. 4. 如图, 在四棱锥P −ABCD 中, PC ⊥平面ABCD, AB DC, DC ⊥AC. (1) 求证: DC ⊥平面PAC; (2) 求证: 平面PAB ⊥平面PAC; (3) 设点E 为AB 的中点. 在棱PB 上是否存在点F, 使得PA 平面 CEF? 说明理由. A E P B C D •
5. 5. 已知椭圆: C: x2 a2 + y2 b2 = 1 过点A (2, 0), B (0, 1) 两点. (1) 求椭圆C 的方程及离心率; (2) 设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上, 直线PA 与y 轴交于点M, 直线PB 与x 轴交于点N, 求证: 四边形ABNM 的面积为定值.
6. 6. 设函数f (x) = x3 + ax2 + bx + c. (1) 求曲线y = f (x) 在点(0, f (0)) 处的切线方程; (2) 设a = b = 4, 若函数f (x) 有三个不同零点, 求c 的取值范围; (3) 求证: a2 −3b > 0 是f (x) 有三个不同零点的必要而不充分条件. 996

原卷配图（含真实几何/应用题图示）