2016年北京（理科）

本卷为官方高考数学真题（2016年北京（理科）），共 20 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 8 题）

1. 1. 已知集合A = {x | |x| < 2}, B = {−1, 0, 1, 2, 3}, 则A∩B = ( ) 5分
   A. {0, 1} B. {0, 1, 2} C. {−1, 0, 1} D. {−1, 0, 1, 2}
2. 2. 若x, y 满足        2x −y ⩽0, x + y ⩽3, x ⩾0, 则2x + y 的最大值为 ( ) 5分
   A. 0 B. 3 C. 4 D. 5
3. 3. 执行如图所示的程序框图, 若输入的a 值为1, 则输出的k 值为 ( ) 开始 输入a k = 0, b = a −1 1 + a k = k + 1 输出k 结束 是 否 5分
   A. = A. = b A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4. 4. 设a, b 是向量, 则“|a| = |b|”是“|a + b| = |a −b|”的 ( ) 5分
   A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 5. 已知x, y ∈R, 且x > y > 0, 则 ( ) x −1 y > 0 (C) (1 2 )x − (1 2 )y < 0 5分
   A. 1 B. sin x −sin y > 0 D. ln x + ln y > 0
6. 6. 某三棱锥的三视图如图所示, 则该三棱锥的体积为 ( ) 1 1 1 1 正(主) 视图 俯视图 侧(左) 视图 6 3 2 5分
   A. 1 B. 1 C. 1 D. 1
7. 7. 将函数y = sin ( 2x −π 3 ) 图象上的点P (π 4 , t ) 向左平移s (s > 0) 个单 位长度得到点P ′. 若P ′ 位于函数y = sin 2x 的图象上, 则 ( ) 2, s 的最小值为π 6 √ 3 2 , s 的最小值为π 6 2, s 的最小值为π 3 √ 3 2 , s 的最小值为π 3 5分
   A. t = 1 B. t = C. t = 1 D. t =
8. 8. 袋中装有偶数个球, 其中红球、黑球各占一半. 甲、乙、丙是三个空盒. 每 次从袋中任意取出两个球, 将其中一个球放入甲盒, 如果这个球是红球, 就 将另一个球放入乙盒, 否则就放入丙盒. 重复上述过程, 直到袋中所有球都 被放入盒中, 则 ( ) 5分
   A. 乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B. 乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 C. 乙盒中红球不多于丙盒中红球 D. 乙盒中黑球与丙盒中红球一样多

填空题（每题 5 分）（共 6 题）

1. 1. 设a ∈R, 若复数(1 + i) (a + i) 在复平面内对应的点位于实轴上, 则 . 5分
   A. =
2. 2. 在(1 −2x)6 的展开式中, x2 的系数为 . (用数字作答) 5分
3. 3. 在极坐标系中, 直线ρ cos θ − √ 3ρ sin θ −1 = 0 与圆ρ = 2 cos θ 交于A, B 两点, 则|AB| = . 5分
4. 4. 已知{an} 为等差数列, Sn 为其前n 项和, 若a1 = 6, a3 + a5 = 0, 则 S6 = . 5分
5. 5. 双曲线x2 a2 −y2 b2 = 1 (a > 0, b > 0) 的渐近线为正方形OABC 的边OA, OC 所在的直线, 点B 为该双曲线的焦点, 若正方形OABC 的边长为2, 则a = . 5分
6. 6. 设函数f (x) = { x3 −3x, x ⩽a, −2x, x > a. ①若a = 0, 则f (x) 的最大值为 ; ②若f (x) 无最大值, 则实数a 的取值范围是 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 在△ABC 中, a2 + c2 = b2 + √ 2ac. (1) 求∠B 的大小; (2) 求 √ 2 cos A + cos C 的最大值.
2. 2. A, B, C 三个班共有100 名学生, 为调查他们的体育锻炼情况, 通过分层抽 样获得了部分学生一周的锻炼时间, 数据如表(单位: 小时): 6 6.5 7 7.5 8 6 7 8 9 10 11 12 3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5 (1) 试估计C 班的学生人数; (2) 从A 班和C 班抽出的学生中, 各随机选取一个人, A 班选出的人记为 甲, C 班选出的人记为乙. 假设所有学生的锻炼时间相对独立, 求该周甲的 锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率; (3) 再从A, B, C 三班中各随机抽取一名学生, 他们该周锻炼时间分别是 7, 9, 8.25 (单位: 小时), 这3 个新数据与表格中的数据构成的新样本的平 均数记为µ1, 表格中数据的平均数记为µ0, 试判断µ0 和µ1 的大小. (结 论不要求证明) 993
3. 3. 如图, 在四棱锥P −ABCD 中, 平面PAD ⊥平面ABCD, PA ⊥PD, PA = PD, AB ⊥AD, AB = 1, AD = 2, AC = CD = √ 5. (1) 求证: PD ⊥平面PAB; (2) 求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值; (3) 在棱PA 上是否存在点M, 使得BM 平面PCD? 若存在, 求AM AP 的值; 若不存在, 说明理由. A D P B C
4. 4. 设函数f (x) = xea−x + bx, 曲线y = f (x) 在点(2, f (2)) 处的切线方程为 y = (e −1) x + 4. (1) 求a, b 的值; (2) 求f (x) 的单调区间.
5. 5. 已知椭圆C: x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 的离心率为 √ 3 2 , A (a, 0), B (0, b), O (0, 0), △OAB 的面积为1. (1) 求椭圆C 的方程; (2) 设P 是椭圆C 上一点, 直线PA 与y 轴交于点M, 直线PB 与x 轴 交于点N. 求证: |AN| · |BM| 为定值.
6. 6. 设数列A: a1, a2, · · · , aN (N ⩾2). 如果对小于n (2 ⩽n ⩽N) 的每个正 整数k 都有ak < an, 则称n 是数列A 的一个“G 时刻”. 记G (A) 是数列 (1) 对数列A: −2, 2, −1, 1, 3, 写出G (A) 的所有元素; (2) 证明: 若数列A 中存在an 使得an > a1, 则G (A)̸ = ∅; (3) 证明: 若数列A 满足an −an−1 ⩽1 (n = 2, 3, · · · , N), 则G (A) 的 元素个数不小于aN −a1. 994

原卷配图（含真实几何/应用题图示）