2016年四川（文科）

本卷为官方高考数学真题（2016年四川（文科）），共 21 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 10 题）

1. 1. 设i 为虚数单位, 则复数(1 + i)2 = ( ) 5分
   A. 0 B. 2 C. 2i D. 2 + 2i
2. 2. 设集合A = {x | 1 ⩽x ⩽5}, Z 为整数集, 则集合A ∩Z 中元素的个数 是 ( ) 5分
   A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
3. 3. 抛物线y2 = 4x 的焦点坐标是 ( ) 5分
   A. (0, 2) B. (0, 1) C. (2, 0) D. (1, 0)
4. 4. 为了得到函数y = sin ( x + π 3 ) 的图象, 只需把函数y = sin x 的图象上所 有的点 ( ) 3 个单位长度 3 个单位长度 3 个单位长度 3 个单位长度 5分
   A. 向左平行移动π B. 向右平行移动π C. 向上平行移动π D. 向下平行移动π
5. 5. 设p: 实数x, y 满足x > 1 且y > 1, q: 实数x, y 满足x + y > 2, 则p 是 q 的 ( ) 5分
   A. 充分不必要条件 B. 不要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 6. 已知a 函数f (x) = x3 −12x 的极小值点, 则a = ( ) 5分
   A. −4 B. −2 C. 4 D. 2
7. 7. 公司为激励创新, 计划逐年加大研发资金投入. 若该公司2015 年全年投入 研发资金130 万元, 在此基础上, 每年投入的研发资金比上一年增长12%, 则该公司全年投入的研发资金开始超过200 万元的年份是 ( ) (参考数据: lg 1.12 ≈0.05, lg 1.3 ≈0.11, lg 2 ≈0.30) 5分
   A. 2018 年 B. 2019 年 C. 2020 年 D. 2021 年
8. 8. 秦九韶是我国南宋时期的数学家, 普州(现四川省安岳县) 人, 他在所著的 《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法, 至今仍是比较先进的算 法. 如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例, 若输入n, x 的值分别为3, 2, 则输出v 的值为 ( ) 开始 输入n, x v = 1 i = n −1 i = i −1 v = vx + i i ⩾0? 输出v 结束 否 是 5分
   A. 9 B. 18 C. 20 D. 35
9. 9. 已知正三角形ABC 的边长为2 √ 3, 平面ABC 内的动点P, M 满足 # » AP  = 1, # » PM = # » MC, 则 # » BM  2 的最大值是 ( ) 4 4 √ 3 4 √ 33 4 5分
   A. 43 B. 49 C. 37 + 6 D. 37 + 2
10. 10. 设直线l1, l2 分别是函数f (x) = { −ln x, 0 < x < 1, ln x, x > 1, 图象上点P1, P2 处的切线, l1 与l2 垂直相交于点P, 且l1, l2 分别与y 轴相交于点A, B, 则△PAB 的面积的取值范围是 ( ) 5分
    A. (0, 1) B. (0, 2) C. (0, +∞) D. (1, +∞)

填空题（每题 5 分）（共 5 题）

1. 1. sin 750◦= . 5分
2. 2. 已知某三棱锥的三视图如图所示, 则该三棱锥的体积是 . 1 1 侧视图 √ 3 √ 3 1 正视图 √ 3 √ 3 1 俯视图 5分
3. 3. 从2, 3, 8, 9 任取两个不同的数值, 分别记为a, b, 则loga b 为整数的概率 是 . 5分
4. 4. 若函数f (x) 是定义R 上的周期为2 的奇函数, 当0 < x < 1 时, ( −5 2 ) + f (2) = . 5分
   F. (x) = 4x, 则f
5. 5. 在平面直角坐标系中, 当P (x, y) 不是原点时, 定义P 的“伴随点”为 P ′ ( y x2 + y2 , −x x2 + y2 ) ; 当P 是原点时, 定义P 的“伴随点”为它自身, 平 面曲线C 上所有点的“伴随点”所构成的曲线C′ 定义为曲线C 的“伴随曲 线”, 现有下列命题: ①若点A 的“伴随点”是点A′, 则点A′ 的“伴随点”是点A; ②单位圆上的“伴随点”仍在单位圆上; ③若两点关于x 轴对称, 则他们的“伴随点”关于y 轴对称; ④若三点在同一条直线上, 则他们的“伴随点”一定共线. 其中的真命题是 . (写出所以真命题的序列) 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 我国是世界上严重缺水的国家, 某市政府为了鼓励居民节约用水, 计划调 整居民生活用水收费方案, 拟确定一个合理的月用水量标准x (吨), 一位居 民的月用水量不超过x 的部分按平价收费, 超出x 的部分按议价收费, 为 了了解居民用水情况, 通过抽样, 获得了某年100 位居民每人的月均用水 量(单位: 吨), 将数据按照[0, 0.5), [0.5, 1), · · · , [4, 4.5) 分成9 组, 制成了 如图所示的频率分布直方图. 频率 组距 0 月均用水量(吨) 0.16 0.42 0.50 0.12 0.08 0.04 a 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 (1) 求直方图中a 的值; (2) 设该市有30 万居民, 估计全市居民中月均用水量不低于3 吨的人数, 并说明理由; (3) 估计居民月均用水量的中位数. 1021
2. 2. 如图, 在四棱锥中P −ABCD 中, PA ⊥CD, AD BC, ∠ADC = ∠PAB = 90◦, BC = CD = 1 2AD. (1) 在平面PAD 内找一点M, 使得直线CM 平面PAB, 并说明理由; (2) 证明: 平面PAB ⊥平面PBD. A B C D P
3. 3. 在△ABC 中, 角A, B, C 所对的边分别是a, b, c, 且cos A a + cos B b = sin C c . (1) 证明: sin A sin B = sin C; (2) 若b2 + c2 −a2 = 6 5bc, 求tan B.
4. 4. 已知数列{an} 的首项为1, Sn 为数列{an} 的前n 项和, Sn+1 = qSn + 1, 其中q > 0, n ∈N∗. (1) 若a2, a3, a2 + a3 成等差数列, 求数列{an} 的通项公式; (2) 设双曲线x2 −y2 a2 n = 1 的离心率为en, 且e2 = 2, 求e2 1 + e2 2 · · · + e2 n.
5. 5. 已知椭圆E: x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 的一个焦点与短轴的两个端点是正 三角形的三个顶点, 点P (√ 3, 1 2 ) 在椭圆E 上. (1) 求椭圆E 的方程; (2) 设不过原点O 且斜率为1 2 的直线l 与椭圆E 交于不同的两点 A, B, 线段AB 的中点为M, 直线OM 与椭圆E 交于C, D, 证明: |MA| · |MB| = |MC| · |MD|.
6. 6. 设函数f (x) = ax2 −a −ln x, g (x) = 1 x −e ex , 其中a ∈R, e = 2.718 · · · 为自然对数的底数. (1) 讨论f (x) 的单调性; (2) 证明: 当x > 1 时, g (x) > 0; (3) 确定a 的所有可能取值, 使得f (x) > g (x) 在区间(1, +∞) 内恒成立. 1022

原卷配图（含真实几何/应用题图示）