2016年四川（理科）

本卷为官方高考数学真题（2016年四川（理科）），共 21 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 10 题）

1. 1. 设集合A = {x | −2 ⩽x ⩽2}, Z 为整数集, 则A ∩Z 中元素的个数是( ) 5分
   A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
2. 2. 设i 为虚数单位, 则(x + i)6 的展开式中含x4 的项为 ( ) 5分
   A. −15x4 B. 15x4 C. −20ix4 D. 20ix4
3. 3. 为了得到函数y = sin ( 2x −π 3 ) 的图象, 只需把函数y = sin 2x 的图象上 所有的点 ( ) 3 个单位长度 3 个单位长度 6 个单位长度 6 个单位长度 5分
   A. 向左平行移动π B. 向右平行移动π C. 向左平行移动π D. 向右平行移动π
4. 4. 用数字1, 2, 3, 4, 5 组成没有重复数字的五位数, 其中奇数的个数为 ( ) 5分
   A. 24 B. 48 C. 60 D. 72
5. 5. 公司为激励创新, 计划逐年加大研发资金投入. 若该公司2015 年全年投入 研发资金130 万元, 在此基础上, 每年投入的研发资金比上一年增长12%, 则该公司全年投入的研发资金开始超过200 万元的年份是 ( ) (参考数据: lg 1.12 ≈0.05, lg 1.3 ≈0.11, lg 2 ≈0.30) 5分
   A. 2018 年 B. 2019 年 C. 2020 年 D. 2021 年
6. 6. 秦九韶是我国南宋时期的数学家, 普州(现四川省安岳县) 人, 他在所著的 《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法, 至今仍是比较先进的算 法. 如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例, 若输入n, x 的值分别为3, 2, 则输出v 的值为 ( ) 开始 输入n, x v = 1 i = n −1 i = i −1 v = vx + i i ⩾0? 输出v 结束 否 是 5分
   A. 9 B. 18 C. 20 D. 35
7. 7. 设p: 实数x, y 满足(x −1)2+(y −1)2 ⩽2, q: 实数x, y 满足        y ⩾x −1, y ⩾1 −x, y ⩽1. 则p 是q 的 ( ) 5分
   A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8. 8. 设O 为坐标原点, P 是以F 为焦点的抛物线y2 = 2px (p > 0) 上任意一 点, M 是线段PF 上的点, 且|PM| = 2 |MF|, 则直线OM 的斜率的最大 值为 ( ) (A) √ 3 3 3 (C) √ 2 2 5分
   B. 2 D. 1
9. 9. 设直线l1, l2 分别是函数f (x) = { −ln x, 0 < x < 1, ln x, x > 1, 图象上点P1, P2 处的切线, l1 与l2 垂直相交于点P, 且l1, l2 分别与y 轴相交于点A, B, 则△PAB 的面积的取值范围是 ( ) 5分
   A. (0, 1) B. (0, 2) C. (0, +∞) D. (1, +∞)
10. 10. 在平面内, 定点A, B, C, D 满足 # » DA  = # » DB  = # » DC , # » DA · # » DB = # » DB · # » DC = # » DC · # » DA = −2, 动点P, M 满足 # » AP  = 1, # » PM = # » MC, 则 # » BM  2 的最大值是 ( ) 4 4 √ 3 4 √ 33 4 5分
    A. 43 B. 49 C. 37 + 6 D. 37 + 2

填空题（每题 5 分）（共 5 题）

1. 1. cos2 π 8 −sin2 π 8 = . 5分
2. 2. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币, 当至少有一枚硬币正面向上时, 就说这次 试验成功, 则在2 次试验中成功次数X 的均值是 . 5分
3. 3. 已知三棱锥的四个面都是腰长为2 的等腰三角形, 该三棱锥的正视图如图 所示, 则该三棱锥的体积是 . √ 3 √ 3 1 正视图 5分
4. 4. 已知函数f (x) 是定义在R 上的周期为2 的奇函数, 当0 < x < 1 时, ( −5 2 ) + f (1) = . 5分
   F. (x) = 4x, 则f
5. 5. 在平面直角坐标系中, 当P (x, y) 不是原点时, 定义P 的“伴随点”为 P ′ ( y x2 + y2 , −x x2 + y2 ) ; 当P 是原点时, 定义P 的“伴随点”为它自身, 平 面曲线C 上所有点的“伴随点”所构成的曲线C′ 定义为曲线C 的“伴随曲 线”, 现有下列命题: ①若点A 的“伴随点”是点A′, 则点A′ 的“伴随点”是点A; ②单位圆的“伴随曲线”是它自身; ③若曲线C 关于x 轴对称, 则其“伴随曲线”C′ 关于y 轴对称; ④一条直线的“伴随曲线”是一条直线. 其中的真命题是 . (写出所以真命题的序列) 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 我国是世界上严重缺水的国家, 某市政府为了鼓励居民节约用水, 计划调 整居民生活用水收费方案, 拟确定一个合理的月用水量标准x (吨), 一位居 民的月用水量不超过x 的部分按平价收费, 超出x 的部分按议价收费, 为 了了解居民用水情况, 通过抽样, 获得了某年100 位居民每人的月均用水 量(单位: 吨), 将数据按照[0, 0.5), [0.5, 1), · · · , [4, 4.5) 分成9 组, 制成了 如图所示的频率分布直方图. 频率 组距 0 月均用水量(吨) 0.16 0.40 0.52 0.12 0.08 0.04 a 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 (1) 求直方图中a 的值; (2) 设该市有30 万居民, 估计全市居民中月均用水量不低于3 吨的人数, 并说明理由; (3) 若该市政府希望使85% 的居民每月的用水量不超过标准x (吨), 估计 x 的值, 并说明理由. 1019
2. 2. 在△ABC 中, 角A, B, C 所对的边分别是a, b, c, 且cos A a + cos B b = sin C c . (1) 证明: sin A sin B = sin C; (2) 若b2 + c2 −a2 = 6 5bc, 求tan B.
3. 3. 如图, 在四棱锥P −ABCD 中, AD BC, ∠ADC = ∠PAB = 90◦, BC = CD = 1 2AD, E 为边AD 的中点, 异面直线PA 与CD 所成的角 为90◦. (1) 在平面PAB 内找一点M, 使得直线CM 平面PBE, 并说明理由; (2) 若二面角P −CD −A 的大小为45◦, 求直线PA 与平面PCE 所成角 的正弦值. E A B C D P
4. 4. 已知数列{an} 的首项为1, Sn 为数列{an} 的前n 项和, Sn+1 = qSn + 1, 其中q > 0, n ∈N∗. (1) 若2a2, a3, a2 + 2 成等差数列, 求an 的通项公式; (2) 设双曲线x2 −y2 a2 n = 1 的离心率为en, 且e2 = 5 3, 证明: e1 + e2 + · · · + en > 4n −3n 3n−1 .
5. 5. 已知椭圆E: x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 的两个焦点与短轴的一个端点是直 角三角形的3 个顶点, 直线l: y = −x + 3 与椭圆E 有且只有一个公共点 T. (1) 求椭圆E 的方程及点T 的坐标; (2) 设O 是坐标原点, 直线l′ 平行于OT 与椭圆E 交于不同的两点A, B, 且与直线l 交于点P, 证明: 存在常数λ, 使得|PT|2 = λ |PA| · |PB|, 并 求λ 的值.
6. 6. 设函数f (x) = ax2 −a −ln x, 其中a ∈R. (1) 讨论f (x) 的单调性; (2) 确定a 的所有可能取值, 使得f (x) > 1 x −e1−x 在区间(1, +∞) 内恒 成立(e = 2.718 · · · 为自然对数的底数). 1020

原卷配图（含真实几何/应用题图示）