本卷为官方高考数学真题（2016年天津（文科）），共 20 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。
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1. 已知集合A = {1, 2, 3}, B = {y | y = 2x −1, x ∈A}, 则A ∩B =
(
) 5分
A. {1, 3}
B. {1, 2}
C. {2, 3}
D. {1, 2, 3}
-
2. 甲、乙两人下棋, 两人下成和棋的概率是1
2, 甲获胜的概率是1
3, 则甲不输
的概率为
(
)
6
5
6
3 5分
A. 5
B. 2
C. 1
D. 1
-
3. 将一个长方形沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥, 得到的几何体的正视
图与俯视图如图所示, 则该几何体的侧(左) 视图为
(
)
正视图
俯视图
(A)
(B)
(C)
(D) 5分
-
4. 已知双曲线x2
a2 −y2
b2 = 1 (a > 0, b > 0) 的焦距为2
√
5, 且双曲线的一条
渐近线与直线2x + y = 0 垂直, 则双曲线的方程为
(
)
4 −y2 = 1
4 = 1
20 −3y2
5
= 1(D) 3x2
5 −3y2
20 = 1 5分
A. x2
B. x2 −y2
C. 3x2
-
5. 设x > 0, y ∈R, 则“x > y”是“x > |y|”的
(
) 5分
A. 充要条件
B. 充分而不必要条件
C. 必要而不充分条件
D. 既不充分也不必要条件
-
6. 已知f (x) 是定义在R 上的偶函数, 且在区间(−∞, 0) 上单调递增. 若实
数a 满足f
(
2|a−1|)
> f
(
−
√
2
)
, 则a 的取值范围是
(
)
(A)
(
−∞, 1
2
)
(B)
(
−∞, 1
2
)
∪
(3
2, +∞
)
(C)
(1
2, 3
2
)
(D)
(3
2, +∞
) 5分
-
7. 已知△ABC 是边长为1 的等边三角形, 点D, E 分别是边AB, BC 的中
点, 连接DE 并延长到点F, 使得DE = 2EF, 则# »
AF · # »
BC 的值为
(
)
5
8
4
8 5分
A. −8
B. 1
C. 1
D. 11
-
8. 已知函数f (x) = sin2 ωx
2 + 1
2 sin ωx −1
2 (ω > 0), x ∈R. 若f (x) 在区间
(π, 2π) 内没有零点, 则ω 的取值范围是
(
)
(A)
(
0, 1
8
]
(B)
(
0, 1
4
]
∪
[5
8, 1
)
(C)
(
0, 5
8
]
(D)
(
0, 1
8
]
∪
[1
4, 5
8
] 5分
-
1. i 是虚数单位, 复数z 满足(1 + i) z = 2, 则z 的实部为
. 5分
-
2. 已知函数f (x) = (2x+1) ex, f ′ (x) 为f (x) 的导函数, 则f ′ (0) 的值
为
. 5分
-
3. 阅读如下的程序框图, 运行相应的程序, 则输出S 的值为
.
开始
S = 4
n = 1
S ⩾6?
S = S −6
n = n + 1
S = 2S
n > 3?
输出S
结束
是
是
否
否 5分
-
4. 已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上, 点M
(
0,
√
5
)
在圆C 上, 且圆心到直
线2x −y = 0 的距离为4
√
5
5 , 则圆C 的方程为
. 5分
-
5. 如图, AB 是圆的直径, 弦CD 与AB 相交于点E, BE = 2AE = 2,
BD = ED, 则线段CE 的长为
.
A
B
E
C
D 5分
-
6. 已知函数f (x) =
{
x2 + (4a −3) x + 3a,
x < 0,
loga (x + 1) + 1,
x ⩾0,
上单调递减, 且关于x 的方程|f (x) | = 2 −x
3 恰有两个不相等的实数解,
则a 的取值范围是
. 5分
A. > 0 且a̸ = 1) 在R
-
1. 在△ABC 中, 内角A, B, C 所对应的边分别为a, b, c.
已知
√
3b sin A.
(1) 求B;
(2) 若cos A = 1
3, 求sin C 的值.
-
2. 某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料, 需要A, B, C 三种主要原料. 生产1
车皮甲种肥料和生产1 车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示:
肥料
原料
A
B
C
甲
4
8
3
乙
5
5
10
现有A 种原料200 吨, B 种原料360 吨, C 种原料300 吨, 在此基础上生
产甲乙两种肥料. 已知生产1 车皮甲种肥料, 产生的利润为2 万元; 生产1
车皮乙种肥料, 产生的利润为3 万元. 分别用x、y 表示生产甲、乙两种肥
料的车皮数.
(1) 用x, y 列出满足生产条件的数学关系式, 并画出相应的平面区域;
(2) 问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮, 能够产生最大的利润? 并求出
此最大利润.
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3. 如图, 四边形ABCD 是平行四边形, 平面AED ⊥平面ABCD, EF
AB, AB = 2, BC = EF = 1, AE =
√
6, DE = 3, ∠BAD = 60◦, G 为
BC 的中点.
(1) 求证: FG
平面BED;
(2) 求证: 平面BED ⊥平面AED;
(3) 求直线EF 与平面BED 所成角的正弦值.
A
E
F
G
B
C
D
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4. 已知{an} 是等比数列, 前n 项和为Sn (n ∈N∗), 且1
a1
−1
a2
=
2
a3
,
S6 = 63.
(1) 求数列{an} 的通项公式;
(2) 若对任意的n ∈N∗, bn 是log2an 和log2an+1 的等差中项, 求数列
{(−1)n b2
n} 的前2n 项和.
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5. 设椭圆x2
a2 + y2
3
= 1 (a >
√
3) 的右焦点为F, 右顶点为A.
已知
1
|OF| +
1
|OA| =
3e
|FA|, 其中O 为原点, e 为椭圆的离心率.
(1) 求椭圆的方程;
(2) 设过点A 的直线l 与椭圆交于点B (B 不在x 轴上), 垂直于l 的直线
与l 交于点M, 与y 轴交于点H. 若BF ⊥HF, 且∠MOA = ∠MAO,
求直线l 的斜率.
-
6. 设函数f (x) = x3 −ax −b, x ∈R, 其中a, b ∈R.
(1) 求f (x) 的单调区间;
(2) 若f (x) 存在极值点x0, 且f (x1) = f (x0), 其中x1̸ = x0, 求证:
x1 + 2x0 = 0;
(3) 设a > 0, 函数g (x) = |f (x) |, 求证: g (x) 在区间[−1, 1] 上的最大值
不小于1
4.
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