2016年天津（理科）

本卷为官方高考数学真题（2016年天津（理科）），共 20 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 8 题）

1. 1. 已知集合A = {1, 2, 3, 4}, B = {y | y = 3x −2, x ∈A}, 则A ∩B =( ) 5分
   A. {1} B. {4} C. {1, 3} D. {1, 4}
2. 2. 设变量x, y 满足约束条件        x −y + 2 ⩾0, 2x + 3y −6 ⩾0, 3x + 2y −9 ⩽0, 则目标函数z = 2x + 5y 的 最小值为 ( ) 5分
   A. −4 B. 6 C. 10 D. 17
3. 3. 在△ABC 中, 若AB = √ 13, BC = 3, ∠C = 120◦, 则AC = ( ) 5分
   A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4. 4. 阅读如下的程序框图, 运行相应的程序, 则输出S 的值为 ( ) 开始 S = 4 n = 1 S ⩾6? S = S −6 n = n + 1 S = 2S n > 3? 输出S 结束 是 是 否 否 5分
   A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
5. 5. 设{an} 是首项为正数的等比数列, 公比为q, 则“q < 0”是“对任意的正整数 n, a2n−1 + a2n < 0”的 ( ) 5分
   A. 充要条件 B. 充分而不必要条件 C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 6. 已知双曲线x2 4 −y2 b2 = 1 (b > 0), 以原点为圆心, 双曲线的实半轴长为半 径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A, B, C, D 四点, 四边形ABCD 的面积为2b, 则双曲线的方程为 ( ) 4 −3y2 4 = 1 (B) x2 4 −4y2 3 = 1 (C) x2 4 −y2 4 = 1 4 −y2 12 = 1 5分
   A. x2 D. x2
7. 7. 已知△ABC 是边长为1 的等边三角形, 点D, E 分别是边AB, BC 的中 点, 连接DE 并延长到点F, 使得DE = 2EF, 则# » AF · # » BC 的值为 ( ) 5 8 4 8 5分
   A. −8 B. 1 C. 1 D. 11
8. 8. 已知函数f (x) = { x2 + (4a −3) x + 3a, x < 0, loga (x + 1) + 1, x ⩾0, 上单调递减, 且关于x 的方程|f (x) | = 2 −x 恰好有两个不相等的实数解, 则a 的取值范围是 ( ) (A) ( 0, 2 3 ] (B) [2 3, 3 4 ] (C) [1 3, 2 3 ] ∪ {3 4 } (D) [1 3, 2 3 ) ∪ {3 4 } 5分
   A. > 0, 且a̸ = 1) 在R

填空题（每题 5 分）（共 6 题）

1. 1. 已知a, b ∈R, i 是虚数单位, 若(1 + i) (1 −bi) = a, 则a . 5分
   B. 的值为
2. 2. ( x2 −1 x )8 的展开式中x7 的系数为 . (用数字作答) 5分
3. 3. 已知一个四棱锥的底面是平行四边形, 该四棱锥的三视图如图所示(单位: m), 则该四棱锥的体积为 m3. 1 3 1 1 1 正视图 俯视图 侧视图 5分
4. 4. 如图, AB 是圆的直径, 弦CD 与AB 相交于点E, BE = 2AE = 2, BD = ED, 则线段CE 的长为 . A B E C D 5分
5. 5. 已知f (x) 是定义在R 上的偶函数, 且在区间(−∞, 0) 上单调递增. 若实 数a 满足f ( 2|a−1|) > f ( − √ 2 ) , 则a 的取值范围是 . 5分
6. 6. 设抛物线 { x = 2pt2, y = 2pt, (t 为参数, p > 0) 的焦点为F, 准线为l. 过抛物线 上一点A 作l 的垂线, 垂足为B. 设C (7 2p, 0 ) , AF 与BC 相交于点E. 若|CF| = 2|AF|, 且△ACE 的面积为3 √ 2, 则p 的值为 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 已知函数f (x) = 4 tan x sin (π 2 −x ) cos ( x −π 3 ) − √ 3. (1) 求f (x) 的定义域与最小正周期; (2) 讨论f (x) 在区间 [ −π 4 , π 4 ] 上的单调性.
2. 2. 某小组共10 人, 利用假期参加义工活动, 已知参加义工活动次数为1, 2, 3 的人数分别为3, 3, 4. 现从这10 人中随机选出2 人作为该组代表参加座 谈会. (1) 设A 为事件“选出的2 人参加义工活动次数之和为4”, 求事件A 发生 的概率; (2) 设X 为选出的2 人参加义工活动次数之差的绝对值, 求随机变量X 的分布列和数学期望. 1023
3. 3. 如图, 正方形ABCD 的中心为O, 四边形OBEF 为矩形, 平面OBEF ⊥ 平面ABCD, 点G 为AB 的中点, AB = BE = 2. (1) 求证: EG 平面ADF; (2) 求二面角O −EF −C 的正弦值; (3) 设H 为线段AF 上的点, 且AH = 2 3HF, 求直线BH 和平面CEF 所成角的正弦值. C D A B E F G H O
4. 4. 已知{an} 是各项均为正数的等差数列, 公差为d, 对任意的n ∈N∗, bn 是 an 和an+1 的等比中项. (1) 设cn = b2 n+1 −b2 n, n ∈N∗, 求证: 数列{cn} 是等差数列; (2) 设a1 = d, Tn = 2n ∑ k=1 (−1)k b2 k, n ∈N∗, 求证: n∑ k=1 1 Tk < 1 2d2 .
5. 5. 设椭圆x2 a2 + y2 3 = 1 (a > √ 3) 的右焦点为F, 右顶点为A. 已知 1 |OF| + 1 |OA| = 3e |FA|, 其中O 为原点, e 为椭圆的离心率. (1) 求椭圆的方程; (2) 设过点A 的直线l 与椭圆交于点B (B 不在x 轴上), 垂直于l 的直线 与l 交于点M, 与y 轴交于点H. 若BF ⊥HF, 且∠MOA ⩽∠MAO, 求直线l 的斜率的取值范围.
6. 6. 设函数f (x) = (x −1)3 −ax −b, x ∈R, 其中a, b ∈R. (1) 求f (x) 的单调区间; (2) 若f (x) 存在极值点x0, 且f (x1) = f (x0), 其中x1̸ = x0, 求证: x1 + 2x0 = 3; (3) 设a > 0, 函数g (x) = |f (x) |, 求证: g (x) 在区间[0, 2] 上的最大值不 小于1 4. 1024

原卷配图（含真实几何/应用题图示）