本卷为官方高考数学真题（2016年山东（文科）），共 21 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。
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1. 设集合U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, A = {1, 3, 5}, B = {3, 4, 5}, 则
∁U (A ∪B) =
(
) 5分
A. {2, 6}
B. {3, 6}
C. {1, 3, 4, 5}
D. {1, 2, 4, 6}
-
2. 若复数z =
2
1 −i, 其中i 为虚数单位, 则z =
(
) 5分
A. 1 + i
B. 1 −i
C. −1 + i
D. −1 −i
-
3. 某高校调查了200 名学生每周的自习时间(单位: 小时), 制成了如图所
示的频率分布直方图, 其中自习时间的范围是[17.5, 30], 样本数据分组为
[17.5, 20), [20, 22.5), [22.5, 25), [25, 27.5), [27.5, 30]. 根据直方图, 这200 名
学生中每周的自习时间不少于22.5 小时的人数是
(
)
频率
组距
0
自习时间/小时
17.5 20 22.5 25 27.5 30
0.02
0.10
0.16
0.08
0.04 5分
A. 56
B. 60
C. 120
D. 140
-
4. 若变量x, y 满足
x + y ⩽2,
2x −3y ⩽9,
x ⩾0,
则x2 + y2 的最大值是
(
) 5分
A. 4
B. 9
C. 10
D. 12
-
5. 一个由半球和四棱锥组成的几何体, 其三视图如图所示. 则该几何体的体
积为
(
)
1
1
1
正(主) 视图
俯视图
侧(左) 视图
3 + 2
3π
3 +
√
2
3 π
3 +
√
2
6 π
√
2
6 π 5分
A. 1
B. 1
C. 1
D. 1 +
-
6. 已知直线a, b 分别在两个不同的平面α, β 内. 则“直线a 和直线b 相交”
是“平面α 和平面β 相交”的
(
) 5分
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
-
7. 已知圆M: x2 + y2 −2ay = 0 (a > 0) 截直线x + y = 0 所得线段的长度
是2
√
2, 则圆M 与圆N: (x −1)2 + (y −1)2 = 1 的位置关系是
(
) 5分
A. 内切
B. 相交
C. 外切
D. 相离
-
8. △ABC 中, 角A, B, C 的对边分别是a, b, c, 已知b = c, a2 =
2b2 (1 −sin A), 则A =
(
)
4
3
4
6 5分
A. 3π
B. π
C. π
D. π
-
9. 已知函数f (x) 的定义域为R. 当x < 0 时, f (x) = x3 −1; 当−1 ⩽x ⩽1
时, f (−x) = −f (x); 当x > 1
2 时, f
(
x + 1
2
)
= f
(
x −1
2
)
.
则
(
) 5分
F. (6) =
A. −2
B. −1
C. 0
D. 2
-
10. 若函数y = f (x) 的图象上存在两点, 使得函数的图象在这两点处的切线
互相垂直, 则称y = f (x) 具有T 性质. 下列函数中具有T 性质的是(
) 5分
A. y = sin x
B. y = ln x
C. y = ex
D. y = x3
-
1. 执行如图的程序框图, 若输入n 的值为3, 则输出的S 的值为
.
开始
输入n
i = 1
S = 0
S = S + √i + 1 −
√
i
i = i + 1
i ⩾n
输出S
结束
是
否 5分
-
2. 观察下列等式:
(
sin π
3
)−2
+
(
sin 2π
3
)−2
= 4
3 × 1 × 2;
(
sin π
5
)−2
+
(
sin 2π
5
)−2
+
(
sin 3π
5
)−2
+
(
sin 4π
5
)−2
= 4
3 × 2 × 3;
(
sin π
7
)−2
+
(
sin 2π
7
)−2
+
(
sin 3π
7
)−2
+ · · · +
(
sin 6π
7
)−2
= 4
3 × 3 × 4;
(
sin π
9
)−2
+
(
sin 2π
9
)−2
+
(
sin 3π
9
)−2
+ · · · +
(
sin 8π
9
)−2
= 4
3 × 4 × 5;
· · · · · ·
照此规律,
(
sin
π
2n + 1
)−2
+
(
sin
2π
2n + 1
)−2
+
(
sin
3π
2n + 1
)−2
+ · · · +
(
sin
2nπ
2n + 1
)−2
=
. 5分
-
3. 已知a = (1, −1) , b = (6, −4). 若a ⊥(ta + b), 则实数t 的值为
. 5分
-
4. 已知双曲线E: x2
a2 −y2
b2 = 1 (a > 0, b > 0). 矩形ABCD 的四个顶点在
率是
. 5分
E. 上, AB, CD 的中点为E 的两个焦点, 且2|AB| = 3|BC|, 则E 的离心
-
5. 已知函数f (x) =
{
|x|,
x ⩽m,
x2 −2mx + 4m,
x > m,
其中m > 0. 若存在实数b,
使得关于x 的方程f (x) = b 有三个不同的根, 则m 的取值范围是
. 5分
-
1. 某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动. 参加活动的儿童需转动
如图所示的转盘两次, 每次转动后, 待转盘停止转动时, 记录指针所指区域
中的数. 设两次记录的数分别为x, y. 奖励规则如下:
①若xy ⩽3, 则奖励玩具一个;
②若xy ⩾8, 则奖励水杯一个;
③其余情况奖励饮料一瓶.
假设转盘质地均匀, 四个区域划分均匀. 小亮准备参加此项活动.
(1) 求小亮获得玩具的概率;
(2) 请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小, 并说明理由.
1
4
2
3
指针
•
1013
-
2. 设f (x) = 2
√
3 sin (π −x) sin x −(sin x −cos x)2.
(1) 求f (x) 的单调递增区间;
(2) 把y = f (x) 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍(纵坐标不变),
再把得到的图象向左平移π
3 个单位, 得到函数y = g (x) 的图象, 求g
(π
6
)
的值.
-
3. 在如图所示的几何体中, D 是AC 的中点, EF
DB.
(1) 已知AB = BC, AE = EC. 求证: AC ⊥FB;
(2) 已知G, H 分别是EC 和FB 的中点, 求证: GH
平面ABC.
A
G
B
H
F
E
C
D
-
4. 已知数列{an} 的前n 项和Sn = 3n2 + 8n, {bn} 是等差数列, 且
an = bn + bn+1.
(1) 求数列{bn} 的通项公式;
(2) 令cn = (an + 1)n+1
(bn + 2)n , 求数列{cn} 的前n 项和Tn.
-
5. 设函数f (x) = x ln x −ax2 + (2a −1) x, a ∈R.
(1) 令g (x) = f ′ (x), 求函数g (x) 的单调区间;
(2) 已知f (x) 在x = 1 处取得极大值, 求实数a 的取值范围.
-
6. 已知椭圆C: x2
a2 + y2
b2 = 1 (a > b > 0) 的长轴长为4, 焦距为2
√
2.
(1) 求椭圆C 的方程;
(2) 过动点M (0, m) (m > 0) 的直线交x 轴于点N, 交C 于点A, P (P
在第一象限), 且M 是线段PN 的中点, 过点P 作x 轴的垂线交C 于另
一点Q, 延长线QM 交C 于点B.
①设直线PM、QM 的斜率分别为k、k′, 证明k′
k 为定值;
②求直线AB 的斜率的最小值.
Q
x
N
y
A
P
M
O
B
1014
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