2016年山东（理科）

本卷为官方高考数学真题（2016年山东（理科）），共 21 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 10 题）

1. 1. 若复数z 满足2z + z = 3 −2i 其中i 为虚数单位, 则z = ( ) 5分
   A. 1 + 2i B. 1 −2i C. −1 + 2i D. −1 −2i
2. 2. 设集合A = {y | y = 2x, x ∈R}, B = {x | x2 −1 < 0}, 则A ∪B = ( ) 5分
   A. (−1, 1) B. (0, 1) C. (−1, +∞) D. (0, +∞)
3. 3. 某高校调查了200 名学生每周的自习时间(单位: 小时), 制成了如图所 示的频率分布直方图, 其中自习时间的范围是[17.5, 30], 样本数据分组为 [17.5, 20), [20, 22.5), [22.5, 25), [25, 27.5), [27.5, 30]. 根据直方图, 这200 名 学生中每周的自习时间不少于22.5 小时的人数是 ( ) 频率 组距 0 自习时间/小时 17.5 20 22.5 25 27.5 30 0.02 0.10 0.16 0.08 0.04 5分
   A. 56 B. 60 C. 120 D. 140
4. 4. 若变量x, y 满足        x + y ⩽2, 2x −3y ⩽9, x ⩾0, 则x2 + y2 的最大值是 ( ) 5分
   A. 4 B. 9 C. 10 D. 12
5. 5. 一个由半球和四棱锥组成的几何体, 其三视图如图所示. 则该几何体的体 积为 ( ) 1 1 1 正(主) 视图 俯视图 侧(左) 视图 3 + 2 3π 3 + √ 2 3 π 3 + √ 2 6 π √ 2 6 π 5分
   A. 1 B. 1 C. 1 D. 1 +
6. 6. 已知直线a, b 分别在两个不同的平面α, β 内. 则“直线a 和直线b 相交” 是“平面α 和平面β 相交”的 ( ) 5分
   A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 7. 函数f (x) = (√ 3 sin x + cos x ) (√ 3 cos x −sin x ) 的最小正周期是 ( ) 2 2 5分
   A. π B. π C. 3π D. 2π
8. 8. 已知非零向量m, n 满足4 |m| = 3 |n|, cos⟨m, n⟩= 1 3. 若n ⊥(tm + n), 则实数t 的值为 ( ) 4 4 5分
   A. 4 B. −4 C. 9 D. −9
9. 9. 已知函数f (x) 的定义域为R. 当x < 0 时, f (x) = x3 −1; 当−1 ⩽x ⩽1 时, f (−x) = −f (x); 当x > 1 2 时, f ( x + 1 2 ) = f ( x −1 2 ) . 则 ( ) 5分
   F. (6) = A. −2 B. −1 C. 0 D. 2
10. 10. 若函数y = f (x) 的图象上存在两点, 使得函数的图象在这两点处的切线 互相垂直, 则称y = f (x) 具有T 性质. 下列函数中具有T 性质的是( ) 5分
    A. y = sin x B. y = ln x C. y = ex D. y = x3

填空题（每题 5 分）（共 5 题）

1. 1. 执行如图的程序框图, 若输入的a, b 的值分别为0 和9, 则输出的i 的值 为 . 开始 输入a, b i = 1 i = i + 1 输出i 结束 是 否 5分
   A. = a + i, b = b −i A. > b
2. 2. 若 ( ax2 + 1 √x )5 的展开式中x5 的系数是−80, 则实数a = . 5分
3. 3. 已知双曲线E: x2 a2 −y2 b2 = 1 (a > 0, b > 0), 若矩形ABCD 的四个顶点 在E 上, AB, CD 的中点为E 的两个焦点, 且2 |AB| = 3 |BC|, 则E 的 离心率是 . 5分
4. 4. 在[−1, 1] 上随机地取一个数k, 则事件“直线y = kx 与圆(x −5)2+y2 = 9 相交”发生的概率为 . 5分
5. 5. 已知函数f (x) = { |x| , x ⩽m, x2 −2mx + 4m, x > m, 其中m > 0, 若存在实数b, 使得关于x 的方程f (x) = b 有三个不同的根, 则m 的取值范围是 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 在△ABC 中, 角A, B, C 的对边分别为a, b, c, 已知2 (tan A + tan B) = tan A cos B + tan B cos A . (1) 证明: a + b = 2c; (2) 求cos C 的最小值.
2. 2. 在如图所示的圆台中, AC 是下底面圆O 的直径, EF 是上底面圆O′ 的直 径, FB 是圆台的一条母线. (1) 已知G, H 分别为EC, FB 的中点, 求证: GH 平面ABC; (2) 已知EF = FB = 1 2AC = 2 √ 3, AB = BC. 求二面角F −BC −A 的 余弦值. A G H E F B C O O′ • • 1011
3. 3. 已知数列{an} 的前n 项和Sn = 3n2 + 8n, {bn} 是等差数列, 且 an = bn + bn+1. (1) 求数列{bn} 的通项公式; (2) 令cn = (an + 1)n+1 (bn + 2)n , 求数列{cn} 的前n 项和Tn.
4. 4. 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动, 每轮活动由甲、乙各猜一个成语, 在一轮活动中, 如果两人都猜对, 则“星队”得3 分; 如果只有一个人猜对, 则“星队”得1 分; 如果两人都没猜对, 则“星队”得0 分. 已知甲每轮猜对的 概率是3 4, 乙每轮猜对的概率是2 3; 每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响. 各轮结果亦互不影响. 假设“星队”参加两轮活动, 求: (1) “星队”至少猜对3 个成语的概率; (2) “星队”两轮得分之和为X 的分布列和数学期望EX.
5. 5. 已知f (x) = a (x −ln x) + 2x −1 x2 , a ∈R. (1) 讨论f (x) 的单调性; (2) 当a = 1 时, 证明f (x) > f ′ (x) + 3 2 对于任意的x ∈[1, 2] 成立.
6. 6. 平面直角坐标系xOy 中, 椭圆C: x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 的离心率是 √ 3 2 , 抛物线E: x2 = 2y 的焦点F 是C 的一个顶点. (1) 求椭圆C 的方程; (2) 设P 是E 上的动点, 且位于第一象限, E 在点P 处的切线l 与C 交 于不同的两点A, B, 线段AB 的中点为D, 直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M. ①求证: 点M 在定直线上; ②直线l 与y 轴交于点G, 记△PFG 的面积为S1, △PDM 的面积 为S2, 求S1 S2 的最大值及取得最大值时点P 的坐标. F G x D y A P M l O B 1012

原卷配图（含真实几何/应用题图示）