本卷为官方高考数学真题（2016年江苏），共 5 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。
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1. 已知函数f (x) = ax + bx (a > 0, b > 0, a̸ = 1, b̸ = 1).
(1) 设a = 2, b = 1
2.
①求方程f (x) = 2 的根;
②若对于任意x ∈R, 不等式f (2x) ⩾mf (x) −6 恒成立, 求实数m
的最大值;
(2) 若0 < a < 1, b > 1, 函数g (x) = f (x) −2 有且只有1 个零点, 求ab
的值.
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2. 记U = {1, 2, · · · , 100}. 对数列{an} (n ∈N∗) 和U 的子集T, 若T = ∅,
定义ST = 0; 若T = {t1, t2, · · · , tk}, 定义ST = at1 + at2 + · · · + atk. 例
如: T = {1, 3, 66} 时, ST = a1 + a3 + a66. 现设{an} (n ∈N∗) 是公比为
3 的等比数列, 且当T = {2, 4} 时, ST = 30.
(1) 求{an} 的通项公式;
(2) 对任意正整数k (1 ⩽k ⩽100), 若T ⊆{1, 2, · · · , k}, 求证:
ST < ak+1;
(3) 设C ⊆U, D ⊆U, SC ⩾SD, 求证: SC + SC∩D ⩾2SD.
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3. 四选二.
【A】如图, 在△ABC 中, ∠ABC = 90◦, BD ⊥AC, D 为垂足, E 是BC
中点. 求证: ∠EDC = ∠ABD.
A
B
C
E
D
【B】已知矩阵A =
[
1
2
0
−2
]
, 矩阵B 的逆矩阵B−1 =
1
−1
2
0
2
, 求矩阵
AB.
【C】在平面直角坐标系xOy 中, 已知直线l 的参数方程为
x = 1 + 1
2t,
y =
√
3
2 t,
(t 为参数), 椭圆C 的参数方程为
{
x = cos θ,
y = 2 sin θ,
(θ 为参数). 设直线l 与椭
圆C 相交于A, B 两点, 求线段AB 的长.
【D】设a > 0, |x −1| < a
3, |y −2| < a
3, 求证: |2x + y −4| < a.
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4. 如图, 在平面直角坐标系xOy 中, 已知直线l: x −y −2 = 0, 抛物线C:
y2 = 2px (p > 0).
(1) 若直线l 过抛物线C 的焦点, 求抛物线C 的方程;
(2) 已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q.
①求证: 线段PQ 上的中点坐标为(2 −p, −p);
②求p 的取值范围.
C
l
x
y
O
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5. (1) 求7C3
6 −4C4
7 的值;
(2) 设m, n ∈N∗, n ⩾m, 求证:
(m + 1) Cm
m + (m + 2) Cm
m+1 +
(m + 3) Cm
m+2 + · · · + nCm
n−1 + (n + 1) Cm
n = (m + 1) Cm+2
n+2 .
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