2017年上海

本卷为官方高考数学真题（2017年上海），共 21 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

填空题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 已知集合A = {1, 2, 3, 4}, 集合B = {3, 4, 5}, 则A ∩B = . 5分
2. 2. 若排列数Pm 6 = 6 × 5 × 4, 则m = . 5分
3. 3. 不等式x −1 x > 1 的解集为 . 5分
4. 4. 已知球的体积为36π, 则该球主视图的面积等于 . 5分
5. 5. 已知复数z 满足z + 3 z = 0, 则|z| = . 5分
6. 6. 设双曲线x2 9 −y2 b2 = 1 (b > 0) 的焦点为F1, F2, P 为该双曲线上的一点, 若|PF1| = 5, 则|PF2| = . 5分
7. 7. 如图, 以长方体ABCD −A1B1C1D1 的顶点D 为坐标原点, 过D 的三条 棱所在的直线为坐标轴, 建立空间直角坐标系, 若# » DB1 的坐标为(4, 3, 2), 则# » AC1 的坐标是 . A B C D A1 B1 C1 D1 x y z 5分
8. 8. 定义在(0, +∞) 上的函数y = f (x) 的反函数为y = f −1 (x), 若g (x) = { 3x −1, x ⩽0, x > 0, 为奇函数, 则f −1 (x) = 2 的解为 . 5分
   F. (x) ,
9. 9. 已知四个函数: ①y = −x, ②y = −1 x, ③y = x3, ④y = x 1 2 . 从中任选2 个, 则事件“所选2 个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为 . 5分
10. 10. 已知数列{an} 和{bn}, 其中an = n2, n ∈N∗, {bn} 的项是互不相等的 正整数, 若对于任意n ∈N∗, {bn} 的第an 项都等于{an} 的第bn 项, 则 lg (b1b4b9b16) lg (b1b2b3b4) = . 5分
11. 11. 设α1, α2 ∈R, 且 1 2 + sin α1 + 1 2 + sin(2α2) = 2, 则|10π −α1 −α2| 的最 小值等于 . 5分
12. 12. 如图, 用35 个单位正方形拼成一个矩形, 点P1, P2, P3, P4 以及四个标记 为“▲”的点在正方形的顶点处, 设集合Ω= {P1, P2, P3, P4}, 点P ∈Ω, 过 P 作直线lP, 使得不在lP 上的“▲”的点分布在lP 的两侧. 用D1 (lP) 和 D2 (lP) 分别表示lP 一侧和另一侧的“▲”的点到lP 的距离之和. 若过P 的直线lP 中有且只有一条满足D1 (lP) = D2 (lP), 则Ω中所有这样的P 为 . ▲ ▲ ▲ ▲ • • • • P1 P2 P3 P4 5分

选择题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 关于x, y 的二元一次方程组 { x + 5y = 0, 2x + 3y = 4, 的系数行列式D 为 ( ) (A)  0 5 4 3  (B)  1 0 2 4  (C)  1 5 2 3  (D)  6 0 5 4 5分
2. 2. 在数列{an} 中, an = ( −1 2 )n , n ∈N∗, 则lim n→∞an ( ) 2 2 5分
   A. 等于−1 B. 等于0 C. 等于1 D. 不存在
3. 3. 已知a、b、c 为实常数, 数列{xn} 的通项xn = an2 + bn + c, n ∈N∗, 则“存在k ∈N∗, 使得x100+k, x200+k, x300+k 成等差数列”的一个必要条件 是 ( ) 5分
   A. a ⩾0 B. b ⩽0 C. c = 0 D. a −2b + c = 0
4. 4. 在平面直角坐标系xOy 中, 已知椭圆C1: x2 36 + y2 4 = 1 和C2: x2 + y2 9 = 1. P 为C1 上的动点, Q 为C2 上的动点, w 是# » OP · # » OQ 的最大值. 记 Ω= { (P, Q) | P 在C1 上, Q 在C2 上, 且# » OP · # » OQ = w } , 则Ω中 ( ) 5分
   A. 元素个数为2 B. 元素个数为4 C. 元素个数为8 D. 含有无穷个元素

解答题（分值见原卷）（共 5 题）

1. 1. 如图, 直三棱柱ABC −A1B1C1 的底面为直角三角形, 两直角边AB 和 AC 的长分别为4 和2, 侧棱AA1 的长为5. (1) 求三棱柱ABC −A1B1C1 的体积; (2) 设M 是BC 中点, 求直线A1M 与平面ABC 所成角的大小. A B C A1 B1 C1
2. 2. 已知函数f (x) = cos2 x −sin2 x + 1 2, x ∈(0, π). (1) 求f (x) 的单调递增区间; (2) 设△ABC 为锐角三角形, 角A 所对边a = √ 19, 角B 所对边b = 5, 若f (A) = 0, 求△ABC 的面积. 1053
3. 3. 根据预测, 某地第n (n ∈N∗) 个月共享单车的投放量和损失量分别为an 和bn (单位: 辆), 其中an = { 5n4 + 15, 1 ⩽n ⩽3, −10n + 470, n ⩾4, bn = n + 5, 第n 个月底的共享单车的保有量是前n 个月的累计投放量与累计损失量的差. (1) 求该地区第4 个月底的共享单车的保有量; (2) 已知该地共享单车停放点第 n 个月底的单车容纳量 Sn = −4 (n −46)2 + 8800 (单位: 辆). 设在某月底, 共享单车保有量达到最 大, 问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量?
4. 4. 在平面直角坐标系xOy 中, 已知椭圆Γ: x2 4 + y2 = 1, A 为Γ 的上顶点, P 为Γ 上异于上、下顶点的动点, M 为x 轴正半轴上的动点. (1) 若P 在第一象限, 且|OP| = √ 2, 求P 的坐标; (2) 设P (8 5, 3 5 ) , 若以A, P, M 为顶点的三角形是直角三角形, 求M 的 横坐标; (3) 若|MA| = |MP|, 直线AQ 与Γ 交于另一点C, 且# » AQ = 2# » AC, # » PQ = 4# » PM, 求直线AQ 的方程.
5. 5. 设定义在R 上的函数f (x) 满足: 对于任意的x1, x2 ∈R, 当x1 < x2 时, 都有f (x1) ⩽f (x2). (1) 若f (x) = ax3 + 1, 求a 的取值范围; (2) 若f (x) 是周期函数, 证明: f (x) 是常值函数; (3) 设f (x) 恒大于零. g (x) 是定义在R 上的、恒大于零的周期函数, M 是g (x) 的最大值. 函数h (x) = f (x) g (x). 证明: “h (x) 是周期函数”的充 要条件是“f (x) 是常值函数”. 1054

原卷配图（含真实几何/应用题图示）