本卷为官方高考数学真题（2017年全国1（文科）），共 6 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。
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1. 如图, 在四棱锥P −ABCD 中, AB
CD, 且∠BAP = ∠CDP = 90◦.
(1) 证明: 平面PAB ⊥平面PAD;
(2) 若PA = PD = AB = DC, ∠APD = 90◦, 且四棱锥P −ABCD 的体
积为8
3, 求该四棱锥的侧面积.
C
B
D
P
A
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2. 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程, 检验员每隔30 min 从该生产
线上随机抽取一个零件, 并测量其尺寸(单位: cm). 下面是检验员在一天
内依次抽取的16 个零件的尺寸:
抽取次序
1
2
3
4
5
6
7
8
零件尺寸
9.95
10.12
9.96
9.96
10.01
9.92
9.98
10.04
抽取次序
9
10
11
12
13
14
15
16
零件尺寸
10.26
9.91
10.13
10.02
9.22
10.04
10.05
9.95
经计算得
x = 1
16
16
∑
i=1
xi = 9.97, s =
√
1
16
16
∑
i=1
(xi −x)2 =
√
1
16
( 16
∑
i=1
x2
i −16x2
)
≈
0.212,
√
16
∑
i=1
(i −8.5)2 ≈18.439,
16
∑
i=1
(xi −x) (i −8.5) = −2.78, 其中xi 为
抽取的第i 个零件的尺寸, i = 1, 2, · · · , 16.
(1) 求(xi, i)
(i = 1, 2, · · · , 16) 的相关系数r, 并回答是否可以认为
这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小; (若
|r| < 0.25, 则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变
小)
(2) 一天内抽检零件中, 如果出现了尺寸在(x −3s, x + 3s) 之外的零件, 就
认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况, 需对当天的生
产过程进行检查.
①从这一天抽检的结果看, 是否需对当天的生产过程进行检查?
②在(x −3s, x + 3s) 之外的数据称为离群值, 试剔除离群值, 估计这
条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差. (精确到0.01)
附:
样本
(xi, yi)
(i
=
1,
2,
· · · ,
n)
的相关系数
r
=
n∑
i=1
(xi −x) (yi −y)
√n∑
i=1
(xi −x)2
√n∑
i=1
(yi −y)2
,
√
0.008 ≈0.09.
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3. 设A, B 为曲线C: y = x2
4 上两点, A 与B 的横坐标之和为4.
(1) 求直线AB 的斜率;
(2) 设M 为曲线C 上一点, C 在M 处的切线与直线AB 平行, 且
AM ⊥BM, 求直线AB 的方程.
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4. 已知函数f (x) = ex (ex −a) −a2x.
(1) 讨论f (x) 的单调性;
(2) 若f (x) ⩾0, 求a 的取值范围.
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5. 在直角坐标系xOy 中, 曲线C 的参数方程为
{
x = 3 cos θ,
y = sin θ,
(θ 为参数), 直
线l 的参数方程为
{
x = a + 4t,
y = 1 −t,
(t 为参数).
(1) 若a = −1, 求C 与l 的交点坐标;
(2) 若C 上的点到l 距离的最大值为
√
17, 求a.
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6. 已知函数f (x) = −x2 + ax + 4, g (x) = |x + 1| + |x −1|.
(1) 当a = 1 时, 求不等式f (x) ⩾g (x) 的解集;
(2) 若不等式f (x) ⩾g (x) 的解集包含[−1, 1], 求a 的取值范围.
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