本卷为官方高考数学真题（2017年全国1（理科）），共 6 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。
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1. 如图, 在四棱锥P −ABCD 中, AB
CD, 且∠BAP = ∠CDP = 90◦.
(1) 证明: 平面PAB ⊥平面PAD;
(2) 若PA = PD = AB = DC, ∠APD = 90◦, 求二面角A −PB −C 的
余弦值.
C
B
D
P
A
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2. 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程, 检验员每天从该生产线上随
机抽取16 个零件, 并测量其尺寸(单位: cm). 根据长期生产经验, 可以认
为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N (µ, σ2).
(1) 假设生产状态正常, 记X 表示一天内抽取的16 个零件中其尺寸在
(µ −3σ, µ + 3σ) 之外的零件数, 求P (X ⩾1) 及X 的数学期望;
(2) 一天内抽检零件中, 如果出现了尺寸在(µ −3σ, µ + 3σ) 之外的零件,
就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况, 需对当天的
生产过程进行检查.
①试说明上述监控生产过程方法的合理性;
②下面是检验员在一天内抽取的16 个零件的尺寸:
9.95
10.12
9.96
9.96
10.01
9.92
9.98
10.04
10.26
9.91
10.13
10.02
9.22
10.04
10.05
9.95
经计算得
x
=
1
16
16
∑
i=1
xi
=
9.97,
s
=
√
1
16
16
∑
i=1
(xi −x)2
=
√
1
16
( 16
∑
i=1
x2
i −16x2
)
≈0.212, 其中xi 为抽取的第i 个零件的尺寸,
i = 1, 2, · · · , 16.
用样本平均数x 作为µ 的估计值ˆµ, 用样本标准差s 作为σ 的估计值ˆσ, 利
用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查? 剔除(ˆµ −3ˆσ, ˆµ + 3ˆσ)
之外的数据, 用剩下的数据估计µ 和σ (精确到0.01).
附: 若随机变量Z 服从正态分布N (µ, σ2), 则P (µ −3σ < Z < µ + 3σ) =
0.9974, 0.997416 ≈0.9592,
√
0.008 ≈0.09.
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3. 已知椭圆C:
x2
a2 + y2
b2
= 1 (a > b > 0), 四点P1(1, 1), P2(0, 1),
P3
(
−1,
√
3
2
)
, P4
(
1,
√
3
2
)
中恰有三点在椭圆C 上.
(1) 求C 的方程;
(2) 设直线l 不经过P2 点且与C 相交于A, B 两点, 若直线P2A 与直线
P2B 的斜率的和为−1, 证明: l 过定点.
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4. 已知函数f (x) = ae2x + (a −2) ex −x.
(1) 讨论f (x) 的单调性;
(2) 若f (x) 有两个零点, 求a 的取值范围.
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5. 在直角坐标系xOy 中, 曲线C 的参数方程为
{
x = 3 cos θ,
y = sin θ,
(θ 为参数), 直
线l 的参数方程为
{
x = a + 4t,
y = 1 −t,
(t 为参数).
(1) 若a = −1, 求C 与l 的交点坐标;
(2) 若C 上的点到l 距离的最大值为
√
17, 求a.
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6. 已知函数f (x) = −x2 + ax + 4, g (x) = |x + 1| + |x −1|.
(1) 当a = 1 时, 求不等式f (x) ⩾g (x) 的解集;
(2) 若不等式f (x) ⩾g (x) 的解集包含[−1, 1], 求a 的取值范围.
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