2017年全国2（文科）

本卷为官方高考数学真题（2017年全国2（文科）），共 23 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 设集合A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 4}, 则A ∪B = ( ) 5分
   A. {1, 2, 3, 4} B. {1, 2, 3} C. {2, 3, 4} D. {1, 3, 4}
2. 2. (1 + i) (2 + i) = ( ) 5分
   A. 1 −i B. 1 + 3i C. 3 + i D. 3 + 3i
3. 3. 函数f (x) = sin ( 2x + π 3 ) 的最小正周期为 ( ) 2 5分
   A. 4π B. 2π C. π D. π
4. 4. 设非零向量a, b 满足|a + b| = |a −b|, 则 ( ) b 5分
   A. a ⊥b B. |a| = |b| C. a D. |a| > |b|
5. 5. 若a > 1, 则双曲线x2 a2 −y2 = 1 的离心率的取值范围是 ( ) (A) (√ 2, +∞ ) (B) (√ 2, 2 ) (C) ( 1, √ 2 ) 5分
   D. (1, 2)
6. 6. 如图, 网格纸上小正方形的边长为1, 粗实线画出的是某几何体的三视图, 该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得, 则该几何体的体积为( ) 5分
   A. 90π B. 63π C. 42π D. 36π
7. 7. 设x, y 满足约束条件        2x + 3y −3 ⩽0, 2x −3y + 3 ⩾0, y + 3 ⩾0, 则z = 2x + y 的最小值是( ) 5分
   A. −15 B. −9 C. 1 D. 9
8. 8. 函数f (x) = ln (x2 −2x −8) 的单调递增区间为 ( ) 5分
   A. (−∞, −2) B. (−∞, 1) C. (1, +∞) D. (4, +∞)
9. 9. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩. 老师说: 你们 四人中有2 位优秀, 2 位良好, 我现在给甲看乙、丙的成绩, 给乙看丙的成 绩, 给丁看甲的成绩. 看后甲对大家说: 我还是不知道我的成绩. 根据以上 信息, 则 ( ) 5分
   A. 乙可以知道四人的成绩 B. 丁可以知道四人的成绩 C. 乙、丁可以知道对方的成绩 D. 乙、丁可以知道自己的成绩
10. 10. 执行如图的程序框图, 如果输入的a = −1, 则输出的S = ( ) 开始 输入a S = 0, K = 1 K ⩽6 S = S + a · K K = K + 1 输出S 结束 是 否 5分
    A. = −a A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
11. 11. 从分别写有1, 2, 3, 4, 5 的5 张卡片中随机抽取1 张, 放回后再随机抽取1 张, 则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为 ( ) 10 5 10 5 5分
    A. 1 B. 1 C. 3 D. 2
12. 12. 过抛物线C: y2 = 4x 的焦点F, 且斜率为 √ 3 的直线交C 于点M (M 在 x 轴上方), l 为C 的准线, 点N 在l 上, 且MN ⊥l, 则M 到直线NF 的 距离为 ( ) (A) √ 5 √ 2 √ 3 √ 3 5分
    B. 2 C. 2 D. 3

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 函数f (x) = 2 cos x + sin x 的最大值为 . 5分
2. 2. 已知函数f (x) 是定义在R 上的奇函数, 当x ∈(−∞, 0) 时, f (x) = 2x3 + x2, 则f (2) = . 5分
3. 3. 长方体的长、宽、高分别为3, 2, 1, 其顶点都在球O 的球面上, 则球O 的 表面积为 . 5分
4. 4. △ABC 的内角A, B, C 的对边分别为a, b, c, 若2b cos B = a cos C + . 5分
   C. cos A, 则B =

解答题（分值见原卷）（共 7 题）

1. 1. 已知等差数列{an} 的前n 项和为Sn, 等比数列{bn} 的前n 项和为Tn, a1 = −1, b1 = 1, a2 + b2 = 2. (1) 若a3 + b3 = 5, 求{bn} 的通项公式; (2) 若T3 = 21, 求S3.
2. 2. 如图, 四棱锥P −ABCD 中, 侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD, AB = BC = 1 2AD, ∠BAD = ∠ABC = 90◦. (1) 证明: 直线BC 平面PAD; (2) 若△PCD 面积为2 √ 7, 求四棱锥P −ABCD 的体积. A P B C D 1043
3. 3. 海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比, 收获时各随 机抽取了100 个网箱, 测量各箱水产品的产量(单位: kg), 其频率分布直方 图如图: 频率 组距 0 0.014 0.024 0.034 0.040 0.032 0.020 0.012 25303540455055606570 箱产量/kg 旧养殖法 频率 组距 0 0.004 0.020 0.044 0.068 0.046 0.010 0.008 3540455055606570 箱产量/kg 新养殖法 (1) 记A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”, 估计A 的概率; (2) 填写下面列联表, 并根据列联表判断是否有99% 的把握认为箱产量与 养殖方法有关; 箱产量< 50 kg 箱产量⩾50 kg 旧养殖法 新养殖法 (3) 根据箱产量的频率分布直方图, 求新养殖法箱产量的优劣进行比较. 附: P (K2 ⩾k) 0.050 0.010 0.001 K 3.841 6.635 10.828 , K2 = n (ad −bc)2
4. 4. 设O 为坐标原点, 动点M 在椭圆C: x2 2 + y2 = 1 上, 过M 作x 轴的垂 线, 垂足为N, 点P 满足# » NP = √ 2# » NM. (1) 求点P 的轨迹方程; (2) 设点Q 在直线x = −3 上, 且# » OP · # » PQ = 1. 证明: 过点P 且垂直于 OQ 的直线l 过C 的左焦点F.
5. 5. 设函数f (x) = (1 −x2) ex. (1) 讨论f (x) 的单调性; (2) 当x ⩾0 时, f (x) ⩽ax + 1, 求a 的取值范围.
6. 6. 在直角坐标系xOy 中, 以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐 标系, 曲线C1 的极坐标方程为ρ cos θ = 4. (1) M 为曲线C1 上的动点, 点P 在线段OM 上, 且满足|OM|·|OP| = 16,, 求点P 的轨迹C2 的直角坐标方程; (2) 设点A 的极坐标为 ( 2, π 3 ) , 点B 在曲线C2 上, 求△OAB 面积的最 大值.
7. 7. 已知a > 0, b > 0, a3 + b3 = 2, 证明: (1) (a + b)(a5 + b5) ⩾4; (2) a + b ⩽2. 1044

原卷配图（含真实几何/应用题图示）