2017年全国2（理科）

本卷为官方高考数学真题（2017年全国2（理科）），共 23 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 3 + i 1 + i = ( ) 5分
   A. 1 + 2i B. 1 −2i C. 2 + i D. 2 −i
2. 2. 设集合A = {1, 2, 4}, B = {x | x2 −4x + m = 0}. 若A ∩B = {1}, 则 ( ) 5分
   B. = A. {1, −3} B. {1, 0} C. {1, 3} D. {1, 5}
3. 3. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题: “远望巍巍塔七层, 红光点 点倍加增, 共灯三百八〸一, 请问尖头几盏灯? ”意思是: 一座7 层塔共挂 了381 盏灯, 且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2 倍, 则塔的顶 层共有灯 ( ) 5分
   A. 1 盏 B. 3 盏 C. 5 盏 D. 9 盏
4. 4. 如图, 网格纸上小正方形的边长为1, 粗实线画出的是某几何体的三视图, 该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得, 则该几何体的体积为( ) 5分
   A. 90π B. 63π C. 42π D. 36π
5. 5. 设x, y 满足约束条件        2x + 3y −3 ⩽0, 2x −3y + 3 ⩾0, y + 3 ⩾0, 则z = 2x + y 的最小值是( ) 5分
   A. −15 B. −9 C. 1 D. 9
6. 6. 安排3 名志愿者完成4 项工作, 每人至少完成1 项, 每项工作由1 人完成, 则不同的安排方式共有 ( ) 5分
   A. 12 种 B. 18 种 C. 24 种 D. 36 种
7. 7. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩. 老师说: 你们 四人中有2 位优秀, 2 位良好, 我现在给甲看乙、丙的成绩, 给乙看丙的成 绩, 给丁看甲的成绩. 看后甲对大家说: 我还是不知道我的成绩. 根据以上 信息, 则 ( ) 5分
   A. 乙可以知道四人的成绩 B. 丁可以知道四人的成绩 C. 乙、丁可以知道对方的成绩 D. 乙、丁可以知道自己的成绩
8. 8. 执行如图的程序框图, 如果输入的a = −1, 则输出的S = ( ) 开始 输入a S = 0, K = 1 K ⩽6 S = S + a · K K = K + 1 输出S 结束 是 否 5分
   A. = −a A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
9. 9. 若双曲线C: x2 a2 −y2 b2 = 1 (a > 0, b > 0) 的一条渐近线被圆(x −2)2+y2 = 4 所截得的弦长为2, 则C 的离心率为 ( ) (B) √ 3 (C) √ 2 √ 3 3 5分
   A. 2 D. 2
10. 10. 已知直三棱柱ABC −A1B1C1 中, ∠ABC = 120◦, AB = 2, BC = CC1 = 1, 则异面直线AB1 与BC1 所成角的余弦值为 ( ) (A) √ 3 2 (B) √ 15 5 (C) √ 10 5 (D) √ 3 3 5分
11. 11. 若x = −2 是函数f (x) = (x2 + ax −1) ex−1 的极值点, 则f (x) 的极小值 为 ( ) 5分
    A. −1 B. −2e−3 C. 5e−3 D. 1
12. 12. 已知△ABC 是边长为2 的等边三角形, P 为平面ABC 内一点, 则 # » PA · (# » PB + # » PC ) 的最小值是 ( ) 2 3 5分
    A. −2 B. −3 C. −4 D. −1

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 一批产品的二等品率为0.02, 从这批产品中每次随机取一件, 有放回地抽 取100 次, X 表示抽到的二等品件数, 则DX = . 5分
2. 2. 函数f (x) = sin2 x + √ 3 cos x −3 4 ( x ∈ [ 0, π 2 ]) 的最大值是 . 5分
3. 3. 等差数列{an} 的前n 项和为Sn, a3 = 3, S4 = 10, 则 n∑ k=1 1 Sk = . 5分
4. 4. 已知F 是抛物线C: y2 = 8x 的焦点, M 是C 上一点, FM 的延长线交y 轴于点N. 若M 为FN 的中点, 则|FN| = . 5分

解答题（分值见原卷）（共 7 题）

1. 1. △ABC 的内角A, B, C 的对边分别为a, b, c, 已知sin (A + C) = 8 sin2 B 2 . (1) 求cos B; (2) 若a + c = 6, △ABC 面积为2, 求b.
2. 2. 海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比, 收获时各随 机抽取了100 个网箱, 测量各箱水产品的产量(单位: kg), 其频率分布直方 图如图: 频率 组距 0 0.014 0.024 0.034 0.040 0.032 0.020 0.012 25303540455055606570 箱产量/kg 旧养殖法 频率 组距 0 0.004 0.020 0.044 0.068 0.046 0.010 0.008 3540455055606570 箱产量/kg 新养殖法 (1) 设两种养殖方法的箱产量相互独立, 记A 表示事件“旧养殖法的箱产量 低于50 kg, 新养殖法的箱产量不低于50 kg”, 估计A 的概率; (2) 填写下面列联表, 并根据列联表判断是否有99% 的把握认为箱产量与 养殖方法有关; 箱产量< 50 kg 箱产量⩾50 kg 旧养殖法 新养殖法 (3) 根据箱产量的频率分布直方图, 求新养殖法箱产量的中位数的估计值 (精确到0.01). 附: P (K2 ⩾k) 0.050 0.010 0.001 K 3.841 6.635 10.828 , K2 = n (ad −bc)2 1041
3. 3. 如图, 四棱锥P −ABCD 中, 侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD, AB = BC = 1 2AD, ∠BAD = ∠ABC = 90◦, E 是PD 的中点. (1) 证明: 直线CE 平面PAB; (2) 点M 在棱PC 上, 且直线BM 与底面ABCD 所成角为45◦, 求二面 角M −AB −D 的余弦值. A P M E B C D
4. 4. 设O 为坐标原点, 动点M 在椭圆C: x2 2 + y2 = 1 上, 过M 作x 轴的垂 线, 垂足为N, 点P 满足# » NP = √ 2# » NM. (1) 求点P 的轨迹方程; (2) 设点Q 在直线x = −3 上, 且# » OP · # » PQ = 1. 证明: 过点P 且垂直于 OQ 的直线l 过C 的左焦点F.
5. 5. 已知函数f (x) = ax2 −ax −x ln x, 且f (x) ⩾0. (1) 求a; (2) 证明: f (x) 存在唯一的极大值点x0, 且e−2 < f (x0) < 2−2.
6. 6. 在直角坐标系xOy 中, 以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐 标系, 曲线C1 的极坐标方程为ρ cos θ = 4. (1) M 为曲线C1 上的动点, 点P 在线段OM 上, 且满足|OM|·|OP| = 16,, 求点P 的轨迹C2 的直角坐标方程; (2) 设点A 的极坐标为 ( 2, π 3 ) , 点B 在曲线C2 上, 求△OAB 面积的最 大值.
7. 7. 已知a > 0, b > 0, a3 + b3 = 2, 证明: (1) (a + b)(a5 + b5) ⩾4; (2) a + b ⩽2. 1042

原卷配图（含真实几何/应用题图示）