2017年全国3（文科）

本卷为官方高考数学真题（2017年全国3（文科）），共 23 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 已知集合A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 4, 6, 8}, 则A ∩B 中元素的个数 为 ( ) 5分
   A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2. 2. 复平面内表示复数z = i (−2 + i) 的点位于 ( ) 5分
   A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 3. 某城市为了解游客人数的变化规律, 提高旅游服务质量, 收集并整理了 2014 年1 月至2016 年12 月期间月接待游客量(单位: 万人) 的数据, 绘制了下面的折线图. 1 2 3 4 5 6 7 8 91011121 2 3 4 5 6 7 8 91011121 2 3 4 5 6 7 8 9101112 2014 年 2015 年 月接待游客量(万人) 2016 年 30 25 35 40 45 O 根据该折线图, 下列结论错误的是 ( ) 化比较平稳 5分
   A. 月接待游客量逐月增加 B. 年接待游客量逐年增加 C. 各年的月接待游客量高峰期大致在7, 8 月 D. 各年1 月至6 月的月接待游客量相对于7 月至12 月, 波动性更小, 变
4. 4. 已知sin α −cos α = 4 3, 则sin 2α = ( ) 9 9 9 9 5分
   A. −7 B. −2 C. 2 D. 7
5. 5. 设x, y 满足约束条件        3x + 2y −6 ⩽0, x ⩾0, y ⩾0, 则z = x −y 的取值范围是( ) 5分
   A. [−3, 0] B. [−3, 2] C. [0, 2] D. [0, 3]
6. 6. 函数f (x) = 1 5 sin ( x + π 3 ) + cos ( x −π 6 ) 的最大值为 ( ) 5 5 5 5分
   A. 6 B. 1 C. 3 D. 1
7. 7. 函数y = 1 + x + sin x x2 的部分图象大致为 ( ) (A) x 1 1 y O (B) x 1 1 y O (C) x 1 1 y O (D) x 1 1 y O 5分
8. 8. 执行如图的程序框图, 为使输出S 的值小于91, 则输入的正整数N 的最 小值为 ( ) 开始 输入N t = 1, M = 100, S = 0 t ⩽N S = S + M M = −M 10 t = t + 1 输出S 结束 是 否 5分
   A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
9. 9. 已知圆柱的高为1, 它的两个底面的圆周在直径为2 的同一个球的球面上, 则该圆柱的体积为 ( ) 4 2 4 5分
   A. π B. 3π C. π D. π
10. 10. 在正方体ABCD—A1B1C1D1 中, E 为棱CD 的中点, 则 ( ) 5分
    A. A1E ⊥DC1 B. A1E ⊥BD C. A1E ⊥BC1 D. A1E ⊥AC
11. 11. 已知椭圆C: x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 的左、右顶点分别为A1, A2, 且以线 段A1A2 为直径的圆与直线bx −ay + 2ab = 0 相切, 则C 的离心率为( ) (A) √ 6 3 (B) √ 3 3 (C) √ 2 3 3 5分
    D. 1
12. 12. 已知函数f (x) = x2 −2x + a (ex−1 + e−x+1) 有唯一零点, 则a = ( ) 2 3 2 5分
    A. −1 B. 1 C. 1 D. 1

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 已知向量a = (−2, 3), b = (3, m), 且a ⊥b, 则m = . 5分
2. 2. 双曲线x2 a2 −y2 9 = 1 (a > 0) 的一条渐近线方程为y = 3 5x, 则a = . 5分
3. 3. △ABC 内角A, B, C 的对边分别为a, b, c, 已知C = 60◦, b = √ 6, c = 3, 则A = . 5分
4. 4. 设函数f (x) = { x + 1, x ⩽0, 2x,x > 0, , 则满足f (x) + f ( x −1 2 ) > 1 的x 的取值范围是 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 7 题）

1. 1. 设数列{an} 满足a1 + 3a2 + · · · + (2n −1) an = 2n. (1) 求{an} 的通项公式; (2) 求数列 { an 2n + 1 } 的前n 项和. 1047
2. 2. 某超市计划按月订购一种酸奶, 每天进货量相同, 进货成本每瓶4 元, 售价 每瓶6 元, 未售出的酸奶降价处理, 以每瓶2 元的价格当天全部处理完. 根 据往年销售经验, 每天需求量与当天最高气温(单位: ◦C) 有关. 如果最高 气温不低于25, 需求量为500 瓶; 如果最高气温位于区间[20, 25), 需求量 为300 瓶; 如果最高气温低于20, 需求量为200 瓶. 为了确定六月份的订 购计划, 统计了前三年六月份各天的最高气温数据, 得下面的频数分布表: 最高气温 [10, 15) [15, 20) [20, 25) [25, 30) [30, 35) [35, 40) 天数 2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率. (1) 估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300 瓶的概率; (2) 设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y (单位: 元), 当六月份这种酸奶 一天的进货量为450 瓶时, 写出Y 的所有可能值, 并估计Y 大于零的概率.
3. 3. 如图, 四面体ABCD 中, △ABC 是正三角形, AD = CD. (1) 证明: AC ⊥BD; (2) 已知△ACD 是直角三角形, AB = BD, 若E 为棱BD 上与D 不重 合的点, 且AE ⊥EC, 求四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积比. A D E B C
4. 4. 在直角坐标系中xOy, 曲线y = x2 + mx −2 与x 轴交于A, B 两点, 点 (1) 能否出现AC ⊥BC 的情况? 说明理由; (2) 证明过A, B, C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值.
5. 5. 已知函数f (x) = ln x + ax2 + (2a + 1) x. (1) 讨论f (x) 的单调性; (2) 当a < 0 时, 证明f (x) ⩽−3 4a −2.
6. 6. 在直角坐标系xOy 中, 直线l1 的参数方程为 { x = 2 + t, y = kt, (t 为参数), 直 线l2 的参数方程为    x = −2 + m, y = m k , (m 为参数). 设l1 与l2 的交点为P, 当k 变化时, P 的轨迹为曲线C. (1) 写出C 的普通方程; (2) 以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 设 l3: ρ(cos θ + sin θ) − √ 2 = 0, M 为l3 与C 的交点, 求M 的极径.
7. 7. 已知函数f (x) = |x + 1| −|x −2|. (1) 求不等式f (x) ⩾1 的解集; (2) 若不等式f (x) ⩾x2 −x + m 的解集非空, 求m 的取值范围. 1048

原卷配图（含真实几何/应用题图示）