2017年全国3（理科）

本卷为官方高考数学真题（2017年全国3（理科）），共 23 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 已知集合A = {(x, y) | x2 + y2 = 1}, B = {(x, y) | y = x}, 则A ∩B 中元 素的个数为 ( ) 5分
   A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
2. 2. 设复数z 满足(1 + i) z = 2i, 则|z| = ( ) 2 (B) √ 2 2 (C) √ 2 5分
   A. 1 D. 2
3. 3. 某城市为了解游客人数的变化规律, 提高旅游服务质量, 收集并整理了 2014 年1 月至2016 年12 月期间月接待游客量(单位: 万人) 的数据, 绘制了下面的折线图. 1 2 3 4 5 6 7 8 91011121 2 3 4 5 6 7 8 91011121 2 3 4 5 6 7 8 9101112 2014 年 2015 年 月接待游客量(万人) 2016 年 30 25 35 40 45 O 根据该折线图, 下列结论错误的是 ( ) 化比较平稳 5分
   A. 月接待游客量逐月增加 B. 年接待游客量逐年增加 C. 各年的月接待游客量高峰期大致在7, 8 月 D. 各年1 月至6 月的月接待游客量相对于7 月至12 月, 波动性更小, 变
4. 4. (x + y) (2x −y)5 的展开式中的x3y3 系数为 ( ) 5分
   A. −80 B. −40 C. 40 D. 80
5. 5. 已知双曲线C: x2 a2 −y2 b2 = 1 (a > 0, b > 0) 的一条渐近线方程为y = √ 5 2 x, 且与椭圆x2 12 + y2 3 = 1 有公共焦点, 则C 的方程为 ( ) 8 −y2 10 = 1 (B) x2 4 −y2 5 = 1 5 −y2 4 = 1 4 −y2 3 = 1 5分
   A. x2 C. x2 D. x2
6. 6. 设函数f (x) = cos ( x + π 3 ) , 则下列结论错误的是 ( ) 3 对称 6 (π 2 , π ) 单调递减 5分
   A. f (x) 的一个周期为−2π B. y = f (x) 的图象关于直线x = 8π C. f (x + π) 的一个零点为x = π D. f (x) 在
7. 7. 执行如图的程序框图, 为使输出S 的值小于91, 则输入的正整数N 的最 小值为 ( ) 开始 输入N t = 1, M = 100, S = 0 t ⩽N S = S + M M = −M 10 t = t + 1 输出S 结束 是 否 5分
   A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
8. 8. 已知圆柱的高为1, 它的两个底面的圆周在直径为2 的同一个球的球面上, 则该圆柱的体积为 ( ) 4 2 4 5分
   A. π B. 3π C. π D. π
9. 9. 等差数列{an} 的首项为1, 公差不为0, 若a2, a3, a6 成等比数列, 则{an} 前6 项的和为 ( ) 5分
   A. −24 B. −3 C. 3 D. 8
10. 10. 已知椭圆C: x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 的左、右顶点分别为A1, A2, 且以线 段A1A2 为直径的圆与直线bx −ay + 2ab = 0 相切, 则C 的离心率为( ) (A) √ 6 3 (B) √ 3 3 (C) √ 2 2 3 5分
    D. 1
11. 11. 已知函数f (x) = x2 −2x + a (ex−1 + e−x+1) 有唯一零点, 则a = ( ) 2 3 2 5分
    A. −1 B. 1 C. 1 D. 1
12. 12. 在矩形ABCD 中, AB = 1, AD = 2, 动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上. 若# » AP = λ# » AB + µ# » AD, 则λ + µ 的最大值为 ( ) √ 2 (C) √ 5 5分
    A. 3 B. 2 D. 2

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 若x, y 满足约束条件        x −y ⩾0, x + y −2 ⩽0, y ⩾0, 则z = 3x −4y 的最小值为 . 5分
2. 2. 设等比数列{an} 满足a1 + a2 = −1, a1 −a3 = −3, 则a4 = . 5分
3. 3. 设函数f (x) = { x + 1, x ⩽0, 2x, x > 0, 则满足f (x) + f ( x −1 2 ) > 1 的x 的取 值范围是 . 5分
4. 4. a, b 为空间中两条互相垂直的直线, 等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a, b 都垂直, 斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转, 有下列结论: ①当直线AB 与a 成60◦角时, AB 与b 成30◦角; ②当直线AB 与a 成60◦角时, AB 与b 成60◦角; ③直线AB 与a 所成角的最小值为45◦; ④直线AB 与a 所成角的最大值为60◦; 其中正确的是 . (填写所有正确结论的编号) 5分

解答题（分值见原卷）（共 7 题）

1. 1. △ABC 的内角A, B, C 的对边分别为a, b, c, 已知sin A + √ 3 cos A = 0, √ 7, b = 2. (1) 求c; (2) 设D 为BC 边上一点, 且AD ⊥AC, 求△ABD 的面积.
2. 2. 某超市计划按月订购一种酸奶, 每天进货量相同, 进货成本每瓶4 元, 售价 每瓶6 元, 未售出的酸奶降价处理, 以每瓶2 元的价格当天全部处理完. 根 据往年销售经验, 每天需求量与当天最高气温(单位: ◦C) 有关. 如果最高 气温不低于25, 需求量为500 瓶; 如果最高气温位于区间[20, 25), 需求量 为300 瓶; 如果最高气温低于20, 需求量为200 瓶. 为了确定六月份的订 购计划, 统计了前三年六月份各天的最高气温数据, 得下面的频数分布表: 最高气温 [10, 15) [15, 20) [20, 25) [25, 30) [30, 35) [35, 40) 天数 2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率. (1) 求六月份这种酸奶一天的需求量X (单位: 瓶) 的分布列; (2) 设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y (单位: 元), 当六月份这种酸奶 一天的进货量n (单位: 瓶) 为多少时, Y 的数学期望达到最大值? 1045
3. 3. 如图, 四面体ABCD 中, △ABC 是正三角形, △ACD 是直角三角形, ∠ABD = ∠CBD, AB = BD. (1) 证明: 平面ACD ⊥平面ABC; (2) 过AC 的平面交BD 于点E, 若平面AEC 把四面体ABCD 分成体 积相等的两部分, 求二面角D −AE −C 的余弦值. A D E B C
4. 4. 已知抛物线C: y2 = 2x, 过点(2, 0) 的直线l 交C 于A, B 两点, 圆M 是 以线段AB 为直径的圆. (1) 证明: 坐标原点O 在圆M 上; (2) 设圆M 过点P(4, −2), 求直线l 与圆M 的方程.
5. 5. 已知函数f (x) = x −1 −a ln x. (1) 若f (x) ⩾0, 求a 的值; (2) 设m 为整数, 且对于任意正整数n, ( 1 + 1 2 ) ( 1 + 1 22 ) · · · ( 1 + 1 2n ) < m, 求m 的最小值.
6. 6. 在直角坐标系xOy 中, 直线l1 的参数方程为 { x = 2 + t, y = kt, (t 为参数), 直 线l2 的参数方程为    x = −2 + m, y = m k , (m 为参数). 设l1 与l2 的交点为P, 当k 变化时, P 的轨迹为曲线C. (1) 写出C 的普通方程; (2) 以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 设 l3: ρ(cos θ + sin θ) − √ 2 = 0, M 为l3 与C 的交点, 求M 的极径.
7. 7. 已知函数f (x) = |x + 1| −|x −2|. (1) 求不等式f (x) ⩾1 的解集; (2) 若不等式f (x) ⩾x2 −x + m 的解集非空, 求m 的取值范围. 1046

原卷配图（含真实几何/应用题图示）