2017年北京（文科）

本卷为官方高考数学真题（2017年北京（文科）），共 20 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 8 题）

1. 1. 已知全集U = R, 集合A = {x | x < −2 或x > 2}, 则∁UA = ( ) 5分
   A. (−2, 2) B. (−∞, −2) ∪(2, +∞) C. [−2, 2] D. (−∞, −2] ∪[2, +∞)
2. 2. 若复数(1 −i) (a + i) 在复平面内对应的点在第二象限, 则实数a 的取值范 围是 ( ) 5分
   A. (−∞, 1) B. (−∞, −1) C. (1, +∞) D. (−1, +∞)
3. 3. 执行如图所示的程序框图, 输出的S 值为 ( ) 开始 k = 0, s = 1 s = s + 1 s k = k + 1 k < 3? 输出s 结束 否 是 2 3 5 5分
   A. 2 B. 3 C. 5 D. 8
4. 4. 若x, y 满足        x ⩽3, x + y ⩾2, y ⩽x, 则x + 2y 的最大值为 ( ) 5分
   A. 1 B. 3 C. 5 D. 9
5. 5. 已知函数f (x) = 3x − (1 3 )x , 则f (x) ( ) 5分
   A. 是偶函数, 且在R 上是增函数 B. 是奇函数, 且在R 上是增函数 C. 是偶函数, 且在R 上是减函数 D. 是奇函数, 且在R 上是减函数
6. 6. 某三棱锥的三视图如图所示, 则该三棱锥的体积为 ( ) 5 3 4 正(主) 视图 俯视图 侧(左) 视图 5分
   A. 60 B. 30 C. 20 D. 10
7. 7. 设m, n 为非零向量, 则“存在负数λ, 使得m = λn”是“m · n < 0”的( ) 5分
   A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
8. 8. 根据有关资料, 围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361, 而可观测宇宙中 普通物质的原子总数N 约为1080, 则下列各数中与M N 最接近的是 ( ) (参考数据: lg 3 ≈0.48) 5分
   A. 1033 B. 1053 C. 1073 D. 1093

填空题（每题 5 分）（共 6 题）

1. 1. 在平面直角坐标系xOy 中, 角α 与角β 均以Ox 为始边, 它们的终边关于 y 轴对称, 若sin α = 1 3, 则sin β = . 5分
2. 2. 若双曲线x2 −y2 m = 1 的离心率为 √ 3, 则实数m = . 5分
3. 3. 已知x ⩾0, y ⩾0, 且x + y = 1, 则x2 + y2 的取值范围是 . 5分
4. 4. 已知点P 在圆x2 + y2 = 1 上, 点A 的坐标为(−2, 0), O 为原点, 则 # » AO · # » AP 的最大值为 . 5分
5. 5. 能够说明“设a, b, c 是任意实数. 若a > b > c, 则a + b > c”是假命题的一 组整数a, b, c 的值依次为 . 5分
6. 6. 某学习小组由学生和教师组成, 人员构成同时满足以下三个条件: ①男学生人数多于女学生人数; ②女学生人数多于教师人数; ③教师人数的两倍多于男学生人数. (1) 若教师人数为4, 则女学生人数的最大值为 ; (2) 该小组人数的最小值为 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 已知等差数列{an} 和等比数列{bn} 满足a1 = b1 = 1, a2 + a4 = 10, b2b4 = a5. (1) 求{an} 的通项公式; (2) 求和: b1 + b3 + b5 + · · · + b2n−1.
2. 2. 已知函数f (x) = √ 3 cos ( 2x −π 3 ) −2 sin x cos x. (1) 求f (x) 的最小正周期; (2) 求证: 当x ∈ [ −π 4 , π 4 ] 时, f (x) ⩾−1 2. 1033
3. 3. 某大学艺术专业400 名学生参加某次测评, 根据男女学生人数比例, 使用 分层抽样的方法从中随机抽取了100 名学生, 记录他们的分数, 将数据分 成7 组: [20, 30), [30, 40), · · · , [80, 90], 并整理得到如下频率分布直方图: 频率 组距 0 分数 20 30 40 50 60 70 80 90 0.01 0.04 0.02 (1) 从总体的400 名学生中随机抽取一人, 估计其分数小于70 的概率; (2) 已知样本中分数小于40 的学生有5 人, 试估计总体中分数在区间 [40, 50) 内的人数; (3) 已知样本中有一半男生的分数不小于70, 且样本中分数不小于70 的男 女生人数相等. 试估计总体中男生和女生人数的比例.
4. 4. 如图, 在三棱锥P −ABC 中, PA ⊥AB, PA ⊥BC, AB ⊥BC, PA = AB = BC = 2, D 为线段AC 的中点, E 为线段PC 上一点. (1) 求证: PA ⊥BD; (2) 求证: 平面BDE ⊥平面PAC; (3) 当PA 平面BDE 时, 求三棱锥E −BCD 的体积. B C D A P E
5. 5. 已知椭圆C 的两个顶点分别为A (−2, 0), B (2, 0), 焦点在x 轴上, 离心率 为 √ 3 2 . (1) 求椭圆C 的方程; (2) 点D 为x 轴上一点, 过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M, N, 过D 作AM 的垂线交BN 于点E. 求证: △BDE 与△BDN 的面积 之比为4 : 5.
6. 6. 已知函数f (x) = ex cos x −x. (1) 求曲线y = f (x) 在点(0, f (0)) 处的切线方程; (2) 求函数f (x) 在区间 [ 0, π 2 ] 上的最大值和最小值. 1034

原卷配图（含真实几何/应用题图示）