2017年北京（理科）

本卷为官方高考数学真题（2017年北京（理科）），共 20 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 8 题）

1. 1. 若集合A = {x | −2 < x < 1}, B = {x | x < −1 或x > 3}, 则A∩B =( ) 5分
   A. {x | −2 < x < −1} B. {x | −2 < x < 3} C. {x | −1 < x < 1} D. {x | 1 < x < 3}
2. 2. 若复数(1 −i) (a + i) 在复平面内对应的点在第二象限, 则实数a 的取值范 围是 ( ) 5分
   A. (−∞, 1) B. (−∞, −1) C. (1, +∞) D. (−1, +∞)
3. 3. 执行如图所示的程序框图, 输出的S 值为 ( ) 开始 k = 0, s = 1 s = s + 1 s k = k + 1 k < 3? 输出s 结束 否 是 2 3 5 5分
   A. 2 B. 3 C. 5 D. 8
4. 4. 若x, y 满足        x ⩽3, x + y ⩾2, y ⩽x, 则x + 2y 的最大值为 ( ) 5分
   A. 1 B. 3 C. 5 D. 9
5. 5. 已知函数f (x) = 3x − (1 3 )x , 则f (x) ( ) 5分
   A. 是奇函数, 且在R 上是增函数 B. 是偶函数, 且在R 上是增函数 C. 是奇函数, 且在R 上是减函数 D. 是偶函数, 且在R 上是减函数
6. 6. 设m, n 为非零向量, 则“存在负数λ, 使得m = λn”是“m · n < 0”的( ) 5分
   A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 7. 某四棱锥的三视图如图所示, 则该四棱锥的最长棱的长度为 ( ) 2 2 2 正(主) 视图 俯视图 侧(左) 视图 √ 2 √ 3 √ 2 5分
   A. 3 B. 2 C. 2 D. 2
8. 8. 根据有关资料, 围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361, 而可观测宇宙中 普通物质的原子总数N 约为1080, 则下列各数中与M N 最接近的是 ( ) (参考数据: lg 3 ≈0.48) 5分
   A. 1033 B. 1053 C. 1073 D. 1093

填空题（每题 5 分）（共 6 题）

1. 1. 若双曲线x2 −y2 m = 1 的离心率为 √ 3, 则实数m = . 5分
2. 2. 若等差数列{an} 和等比数列{bn} 满足a1 = b1 = −1, a4 = b4 = 8, 则 a2 b2 = . 5分
3. 3. 在极坐标系中, 点A 在圆ρ2 −2ρ cos θ −4ρ sin θ + 4 = 0 上, 点P 的坐标 为(1, 0), 则|AP| 的最小值为 . 5分
4. 4. 在平面直角坐标系xOy 中, 角α 与角β 均以Ox 为始边, 它们的终边关于 y 轴对称, 若sin α = 1 3, 则cos (α −β) = . 5分
5. 5. 能够说明“设a, b, c 是任意实数. 若a > b > c, 则a + b > c”是假命题的一 组整数a, b, c 的值依次为 . 5分
6. 6. 三名工人加工同一种零件, 他们在一天中的工作情况如图所示, 其中Ai 的 横、纵坐标分别为第i 名工人上午的工作时间和加工的零件数, 点Bi 的 横、纵坐标分别为第i 名工人下午的工作时间和加工的零件数, i = 1, 2, 3. A1 A2 A3 B1 B2 B3 工作时间(小时) 零件数(件) O • • • • • • (1) 记Qi 为第i 名工人在这一天中加工的零件总数, 则Q1, Q2, Q3 中最 大的是 ; (2) 记pi 为第i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数, 则p1, p2, p3 中最大的是 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 在△ABC 中, ∠A = 60◦, c = 3 7a. (1) 求sin C 的值; (2) 若a = 7, 求△ABC 的面积.
2. 2. 如图, 在四棱锥P −ABCD 中, 底面ABCD 为正方形, 平面PAD ⊥平 面ABCD, 点M 在线段PB 上, PD 平面MAC, PA = PD = √ 6, AB = 4. (1) 求证: M 为PB 的中点; (2) 求二面角B −PD −A 的大小; (3) 求直线MC 与平面BDP 所成角的正弦值. B C D A P M 1031
3. 3. 为了研究一种新药的疗效, 选100 名患者随机分成两组, 每组各50 名, 一 组服药, 另一组不服药. 一段时间后, 记录了两组患者的生理指标x 和y 的 数据, 并制成如图, 其中“∗”表示服药者, “+”表示未服药者. A B C D 指标x 指标y 1.7 60 O ∗ ∗ ∗∗∗ ∗∗∗∗ ∗ ∗∗∗∗∗∗ ∗ ∗∗∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗∗ ∗∗∗ ∗∗∗∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗∗∗∗ ∗∗ ∗ ∗ + + + + + + + + ++ ++ + ++ + + ++ + + +++ ++ + + ++++++ + +++++++ +++++ +++ (1) 从服药的50 名患者中随机选出一人, 求此人指标y 的值小于60 的概 率; (2) 从图中A, B, C, D 四人中随机选出两人, 记ξ 为选出的两人中指标x 的值大于1.7 的人数, 求ξ 的分布列和数学期望E (ξ); (3) 试判断这100 名患者中服药者指标y 数据的方差与未服药者指标y 数 据的方差的大小. (只需写出结论)
4. 4. 已知抛物线C: y2 = 2px 过点P (1, 1). 过点 ( 0, 1 2 ) 作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M, N, 过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP, ON 交于 点A, B, 其中O 为原点. (1) 求抛物线C 的方程, 并求其焦点坐标和准线方程; (2) 求证: A 为线段BM 的中点.
5. 5. 已知函数f (x) = ex cos x −x. (1) 求曲线y = f (x) 在点(0, f (0)) 处的切线方程; (2) 求函数f (x) 在区间 [ 0, π 2 ] 上的最大值和最小值.
6. 6. 设{an} 和{bn} 是两个等差数列, 记cn = max{b1−a1n, b2−a2n, · · · , bn− ann} (n = 1, 2, 3, · · · ), 其中max {x1, x2, · · · , xs} 表示x1, x2, · · · , xs 这s 个数中最大的数. (1) 若an = n, bn = 2n −1, 求c1, c2, c3 的值, 并证明{cn} 是等差数列; (2) 证明: 或者对任意正数M, 存在正整数m, 当n ⩾m 时, cn n > M; 或 者存在正整数m, 使得cm, cm+1, cm+2, · · · 是等差数列. 1032

原卷配图（含真实几何/应用题图示）