2017年天津（文科）

本卷为官方高考数学真题（2017年天津（文科）），共 20 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 8 题）

1. 1. 设集合A = {1, 2, 6}, B = {2, 4}, C = {1, 2, 3, 4}, 则(A ∪B)∩C =( ) 5分
   A. {2} B. {1, 2, 4} C. {1, 2, 4, 6} D. {1, 2, 3, 4, 6}
2. 2. 设x ∈R, 则“2 −x ⩾0”是“|x −1| ⩽1”的 ( ) 5分
   A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 3. 有5 支彩笔(除颜色外无差别), 颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫. 从这5 支 彩笔中任取2 支不同颜色的彩笔, 则取出的2 支彩笔中含有红色彩笔的概 率为 ( ) 5 5 5 5 5分
   A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
4. 4. 阅读程序框图, 运行相应的程序, 若输入N 的值为19, 则输出N 的值 为 ( ) 开始 输入N N 能被3 整除? N = N 3 N = N −1 N ⩽3? 输出N 结束 是 是 否 否 5分
   A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
5. 5. 已知双曲线x2 a2 −y2 b2 = 1 (a > 0, b > 0) 的右焦点为F, 点A 在双曲线的 渐近线上, △OAF 是边长为2 的等边三角形(O 为原点), 则双曲线方程 为 ( ) 4 −y2 12 = 1 (B) x2 12 −y2 4 = 1 3 −y2 = 1 3 = 1 5分
   A. x2 C. x2 D. x2 −y2
6. 6. 已知奇函数f (x) 在R 上是增函数. 若a = −f ( log2 1 5 ) , b = f (log24.1), ( ) 5分
   C. = f (20.8), 则a, b, c 的大小关系为 A. a < b < c B. b < a < c C. c < b < a D. c < a < b
7. 7. 设函数f (x) = 2 sin (ωx + φ), x ∈R, 其中ω > 0, |φ| < π. 若 f (5π 8 ) = 2, f (11π 8 ) = 0, 且f (x) 的最小正周期大于2π, 则 ( ) 3, φ = π 12 3, φ = −11π 12 3, φ = −11π 24 3, φ = 7π 24 5分
   A. ω = 2 B. ω = 2 C. ω = 1 D. ω = 1
8. 8. 已知函数f(x) =    |x| + 2, x < 1, x + 2 x, x ⩾1, 设a ∈R, 若关于x 的不等式 f(x) ⩾ x 2 + a  在R 上恒成立, 则a 的取值范围是 ( ) (B) [ −2 √ 3, 2 ] (C) [ −2, 2 √ 3 ] (D) [ −2 √ 3, 2 √ 3 ] 5分
   A. [−2, 2]

填空题（每题 5 分）（共 6 题）

1. 1. 已知a ∈R, i 为虚数单位, 若a −i 2 + i 为实数, 则a 的值为 . 5分
2. 2. 已知a ∈R, 设函数f (x) = ax −ln x 的图象在点(1, f (1)) 处的切线为l, 则l 在y 轴上的截距为 . 5分
3. 3. 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上, 若这个正方体的表面积为18, 则这个球的体积为 . 5分
4. 4. 设抛物线y2 = 4x 的焦点为F, 准线为l. 已知点C 在l 上, 以C 为圆心的 圆与y 轴的正半轴相切于点A. 若∠FAC = 120◦, 则圆的方程为 . 5分
5. 5. 若a, b ∈R, ab > 0, 则a4 + 4b4 + 1 ab 的最小值为 . 5分
6. 6. 在△ABC 中, ∠A = 60◦, AB = 3, AC = 2. 若# » BD = 2# » DC, # » AE = λ# » AC −# » AB (λ ∈R), 且# » AD · # » AE = −4, 则λ 的值为 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 在△ABC 中, 内角A, B, C 所对的边分别为a, b, c. 已知a sin A = 4b sin B, ac = √ 5 (a2 −b2 −c2). (1) 求cos A 的值; (2) 求sin (2B −A) 的值.
2. 2. 电视台播放甲、乙两套连续剧, 每次播放连续剧时, 需要播放广告. 已知每 次播放甲、乙两套连续剧时, 连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如 下表所示: 连续剧播放时长(分钟) 广告播放时长(分钟) 收视人次(万) 甲 70 5 60 乙 60 5 25 已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600 分钟, 广告 的总播放时间不少于30 分钟, 且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播 放次数的2 倍. 分别用x, y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次 数. (1) 用x, y 列出满足题目条件的数学关系式, 并画出相应的平面区域; (2) 问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次, 才能使总收视人次最多?
3. 3. 如图, 在四棱锥P −ABCD 中, AD ⊥平面PDC, AD BC, PD ⊥PB, AD = 1, BC = 3, CD = 4, PD = 2. (1) 求异面直线AP 与BC 所成角的余弦值; (2) 求证: PD ⊥平面PBC; (3) 求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值. A P B C D 1057
4. 4. 已知{an} 为等差数列, 前n 项和为Sn (n ∈N∗), {bn} 是首项为2 的等 比数列, 且公比大于0, b2 + b3 = 12, b3 = a4 −2a1, S11 = 11b4. (1) 求{an} 和{bn} 的通项公式; (2) 求数列{a2nbn} 的前n 项和(n ∈N∗).
5. 5. 设a, b ∈R, |a| ⩽1. 已知函数f (x) = x3 −6x2 −3a (a −4) x + b, (1) 求f (x) 的单调区间; (2) 已知函数y = g (x) 和y = ex 的图象在公共点(x0, y0) 处有相同的切 线. ①求证: f (x) 在x = x0 处的导数等于0; ②若关于x 的不等式g (x) ⩽ex 在区间[x0 −1, x0 + 1] 上恒成立, 求
6. 6. 已知椭圆x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 的左焦点为F (−c, 0), 右顶点为A, 点 2 . (1) 求椭圆的离心率; (2) 设点Q 在线段AE 上, |FQ| = 3 2c, 延长线段FQ 与椭圆交于点P, 点 M, N 在x 轴上, PM QN, 且直线PM 与直线QN 间的距离为c, 四 边形PQNM 的面积为3c. ①求直线FP 的斜率; ②求椭圆的方程. 1058

原卷配图（含真实几何/应用题图示）