2017年天津（理科）

本卷为官方高考数学真题（2017年天津（理科）），共 20 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 8 题）

1. 1. 设集合A = {1, 2, 4, 6}, B = {2, 4}, C = {x ∈R | −1 ⩽x ⩽5}, 则 ( ) 5分
   A. ∪B) ∩C = A. {2} B. {1, 2, 4} C. {1, 2, 4, 5} D. {x ∈R | −1 ⩽x ⩽5}
2. 2. 设变量x, y 满足约束条件              2x + y ⩾0, x + 2y −2 ⩾0, x ⩽0, y ⩽3, 则目标函数z = x + y 的最 大值为 ( ) 3 2 5分
   A. 2 B. 1 C. 3 D. 3
3. 3. 阅读程序框图, 运行相应的程序, 若输入N 的值为24, 则输出N 的值 为 ( ) 开始 输入N N 能被3 整除? N = N 3 N = N −1 N ⩽3? 输出N 结束 是 是 否 否 5分
   A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
4. 4. 设θ ∈R, 则“ θ −π 12  < π 12”是“sin θ < 1 2”的 ( ) 5分
   A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 5. 已知双曲线x2 a2 −y2 b2 = 1 (a > 0, b > 0) 的左焦点为F, 离心率为 √ 2. 若 经过F 和P (0, 4) 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线, 则双曲线的方 程为 ( ) 4 −y2 4 = 1 (B) x2 8 −y2 8 = 1 4 −y2 8 = 1 8 −y2 4 = 1 5分
   A. x2 C. x2 D. x2
6. 6. 已知奇函数f (x) 在R 上是增函数, g (x) = xf (x). 若a = g (−log2 5.1), ( ) 5分
   B. = g (20.8), c = g (3), 则a, b, c 的大小关系为 A. a < b < c B. c < b < a C. b < a < c D. b < c < a
7. 7. 设函数f (x) = 2 sin (ωx + φ), x ∈R, 其中ω > 0, |φ| < π. 若 f (5π 8 ) = 2, f (11π 8 ) = 0, 且f (x) 的最小正周期大于2π, 则 ( ) 3, φ = π 12 3, φ = −11π 12 3, φ = −11π 24 3, φ = 7π 24 5分
   A. ω = 2 B. ω = 2 C. ω = 1 D. ω = 1
8. 8. 已知函数f (x) =    x2 −x + 3, x ⩽1, x + 2 x, x > 1, 设a ∈R, 若关于x 的不等式 x 2 + a  在R 上恒成立, 则a 的取值范围是 ( ) (A) [ −47 16, 2 ] (B) [ −47 16, 39 16 ] (C) [ −2 √ 3, 2 ] (D) [ −2 √ 3, 39 16 ] 5分
   F. (x) ⩾

填空题（每题 5 分）（共 6 题）

1. 1. 已知a ∈R, i 为虚数单位, 若a −i 2 + i 为实数, 则a 的值为 . 5分
2. 2. 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上, 若这个正方体的表面积为18, 则这个球的体积为 . 5分
3. 3. 在极坐标系中, 直线4ρ cos ( θ −π 6 ) + 1 = 0 与圆ρ = 2 sin θ 的公共点的个 数为 . 5分
4. 4. 若a, b ∈R, ab > 0, 则a4 + 4b4 + 1 ab 的最小值为 . 5分
5. 5. 在△ABC 中, ∠A = 60◦, AB = 3, AC = 2. 若# » BD = 2# » DC, # » AE = λ# » AC −# » AB (λ ∈R), 且# » AD · # » AE = −4, 则λ 的值为 . 5分
6. 6. 用数字1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 组成没有重复数字, 且至多有一个数字是偶 数的四位数, 这样的四位数一共有 个. (用数字作答) 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 在△ABC 中, 内角A, B, C 所对的边分别为a, b, c. 已知a > b, a = 5, 5. (1) 求b 和sin A 的值; (2) 求sin ( 2A + π 4 ) 的值.
2. 2. 从甲地到乙地要经过3 个〸字路口, 设各路口信号灯工作相互独立, 且在 各路口遇到红灯的概率分别为1 2, 1 3, 1 4. (1) 设X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数, 求随机变量X 的分 布列和数学期望; (2) 若有2 辆车独立地从甲地到乙地, 求这2 辆车共遇到1 个红灯的概率.
3. 3. 如图, 在三棱锥P −ABC 中, PA ⊥底面ABC, ∠BAC = 90◦. 点D, E, N 分别为棱PA, PC, BC 的中点, M 是线段AD 的中点, PA = AC = 4, AB = 2. (1) 求证: MN 平面BDE; (2) 求二面角C −EM −N 的正弦值; (3) 已知点H 在棱PA 上, 且直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为 √ 7 21 , 求线段AH 的长. A P N E B C D M 1055
4. 4. 已知{an} 为等差数列, 前n 项和为Sn (n ∈N∗), {bn} 是首项为2 的等 比数列, 且公比大于0, b2 + b3 = 12, b3 = a4 −2a1, S11 = 11b4. (1) 求{an} 和{bn} 的通项公式; (2) 求数列{a2nb2n−1} 的前n 项和(n ∈N∗).
5. 5. 设椭圆x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 的左焦点为F, 右顶点为A, 离心率为1 2. 已知A 是抛物线y2 = 2px (p > 0) 的焦点, F 到抛物线的准线l 的距离为 1 2. (1) 求椭圆的方程和抛物线的方程; (2) 设l 上两点P, Q 关于x 轴对称, 直线AP 与椭圆相交于点B (B 异于 √ 6 2 , 求直线AP 的方程.
6. 6. 设a ∈Z, 已知定义在R 上的函数f (x) = 2x4 + 3x3 −3x2 −6x + a 在区 间(1, 2) 内有一个零点x0, g (x) 为f (x) 的导函数. (1) 求g (x) 的单调区间; (2) 设m ∈[1, x0) ∪(x0, 2], 函数h (x) = g (x) (m −x0) −f (m), 求证: (3) 求证: 存在大于0 的常数A, 使得对于任意的正整数p, q, 且p q ∈ [1, x0) ∪(x0, 2], 满足  p q −x0  ⩾ 1 Aq4 . 1056

原卷配图（含真实几何/应用题图示）