2017年山东（文科）

本卷为官方高考数学真题（2017年山东（文科）），共 21 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 10 题）

1. 1. 设集合M = {x | |x −1| < 1}, N = {x | x < 2}, 则M ∩N = ( ) 5分
   A. (−1, 1) B. (−1, 2) C. (0, 2) D. (1, 2)
2. 2. 已知i 是虚数单位, 若复数z 满足zi = 1 + i, 则z2 = ( ) 5分
   A. −2i B. 2i C. −2 D. 2
3. 3. 已知x, y 满足约束条件        x −2y + 5 ⩽0, x + 3 ⩾0, y ⩽2, 则z = x + 2y 的最大值是( ) 5分
   A. −3 B. −1 C. 1 D. 3
4. 4. 已知cos x = 3 4, 则cos 2x = ( ) 4 4 8 8 5分
   A. −1 B. 1 C. −1 D. 1
5. 5. 已知命题p: ∃x ∈R, x2 −x + 1 ⩾0. 命题q: 若a2 < b2, 则a < b, 下列命 题为真命题的是 ( ) 5分
   A. p ∧q B. p ∧¬q C. ¬p ∧q D. ¬p ∧¬q
6. 6. 若执行下侧的程序框图, 当输入的x 的值为4 时, 输出的y 的值为2, 则空 白判断框中的条件可能为 ( ) 开始 输入x y = x + 2 y = log2 x 输出y 结束 是 否 5分
   A. x > 3 B. x > 4 C. x ⩽4 D. x ⩽5
7. 7. 函数y = √ 3 sin 2x + cos 2x 的最小正周期为 ( ) 2 3 5分
   A. π B. 2π C. π D. 2π
8. 8. 如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5 名工人某日的产量数据(单位: 件). 若这两组数据的中位数相等, 且平均值也相等, 则x 和y 的值分别 为 ( ) 甲组 乙组 6 5 9 2 5 6 1 7 y x 4 7 8 5分
   A. 3, 5 B. 5, 5 C. 3, 7 D. 5, 7
9. 9. 设f (x) = {√x, 0 < x < 1, 2 (x −1) , x ⩾1, 若f (a) = f (a + 1), 则f (1 a ) =( ) 5分
   A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
10. 10. 若函数exf (x) (e = 2.71828 · · · 是自然对数的底数) 在f (x) 的定义域上 单调递增, 则称函数f (x) 具有M 性质, 下列函数中具有M 性质的是( ) 5分
    A. f (x) = 2−x B. f (x) = x2 C. f (x) = 3−x D. f (x) = cos x

填空题（每题 5 分）（共 5 题）

1. 1. 已知向量a = (2, 6), b = (−1, λ), 若a b, 则λ = . 5分
2. 2. 若直线x . 5分
   A. + y B. = 1 (a > 0, b > 0) 过点(1, 2), 则2a+b 的最小值为
3. 3. 由一个长方体和两个1 4 圆柱体构成的几何体的三视图如图, 则该几何体的 体积为 . 1 2 1 1 2 1 1 1 1 正视图(主视图) 侧视图(左视图) 俯视图 5分
4. 4. 已知f (x) 是定义在R 上的偶函数, 且f (x + 4) = f (x −2). 若当 x ∈[−3, 0] 时, f (x) = 6−x, 则f (919) = . 5分
5. 5. 在平面直角坐标系xOy 中, 双曲线x2 a2 −y2 b2 = 1 (a > 0, b > 0) 的右支与 焦点为F 的抛物线x2 = 2py (p > 0) 交于A, B 两点, 若|AF| + |BF| = 4|OF|, 则该双曲线的渐近线方程为 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 某旅游爱好者计划从3 个亚洲国家A1, A2, A3 和3 个欧洲国家B1, B2, B3 中选择2 个国家去旅游. (1) 若从这6 个国家中任选2 个, 求这2 个国家都是亚洲国家的概率; (2) 若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1 个, 求这2 个国家包括A1 但不 包括B1 的概率.
2. 2. 在△ABC 中, 角A, B, C 的对边分别为a, b, c, 已知b = 3, # » AB· # » AC = −6, S△ABC = 3, 求A 和a.
3. 3. 由四棱柱ABCD −A1B1C1D1 截去三棱锥C1 −B1CD1 后得到的几何体 如图所示, 四边形ABCD 为正方形, O 为AC 与BD 的交点, E 为AD 的中点, A1E ⊥平面ABCD. (1) 证明: A1O 平面B1CD1; (2) 设M 是OD 的中点, 证明: 平面A1EM ⊥平面B1CD1. A B C D E O M A1 B1 D1 1051
4. 4. 已知{an} 是各项均为正数的等比数列, 且a1 + a2 = 6, a1a2 = a3. (1) 求数列{an} 通项公式; (2) {bn} 为各项非零的等差数列, 其前n 项和为Sn, 已知S2n+1 = bnbn+1, 求数列 { bn an } 的前n 项和Tn.
5. 5. 已知函数f (x) = 1 3x3 −1 2ax2, a ∈R. (1) 当a = 2 时, 求曲线y = f (x) 在点(3, f (3)) 处的切线方程; (2) 设函数g (x) = f (x) + (x −a) cos x −sin x, 讨论g (x) 的单调性并判 断有无极值, 有极值时求出极值.
6. 6. 在平面直角坐标系xOy 中, 已知椭圆C: x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 的离心 率为 √ 2 2 , 椭圆C 截直线y = 1 所得线段的长度为2 √ 2. (1) 求椭圆C 的方程; (2) 动直线l: y = kx + m (m̸ = 0) 交椭圆C 于A, B 两点, 交y 轴于点 M. 点N 是M 关于O 的对称点, ⊙N 的半径为|NO|. 设D 为AB 的中 点, DE, DF 与⊙N 分别相切于点E, F, 求∠EDF 的最小值. x y O A B M N D E F l • 1052

原卷配图（含真实几何/应用题图示）