2017年山东（理科）

本卷为官方高考数学真题（2017年山东（理科）），共 21 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 10 题）

1. 1. 设函数y = √ 4 −x2 的定义域为A, 函数y = ln (1 −x) 的定义域为B, 则 ( ) 5分
   A. ∩B = A. (1, 2) B. (1, 2] C. (−2, 1) D. [−2, 1)
2. 2. 已知a ∈R, i 是虚数单位, 若z = a + √ 3i, z · z = 4, 则a = ( ) (B) √ 7 或− √ 7 √ 3 (D) √ 3 5分
   A. 1 或−1 C. −
3. 3. 已知命题p: ∀x > 0, ln (x + 1) > 0; 命题q: 若a > b, 则a2 > b2, 下列命 题为真命题的是 ( ) 5分
   A. p ∧q B. p ∧¬q C. ¬p ∧q D. ¬p ∧¬q
4. 4. 已知x, y 满足约束条件        x −y + 3 ⩽0, 3x + y + 5 ⩽0, x + 3 ⩾0, 则z = x + 2y 的最大值是( ) 5分
   A. 0 B. 2 C. 5 D. 6
5. 5. 为了研究某班学生的脚长x (单位: 厘米) 和身高y (单位: 厘米) 的关系, 从该班随机抽取10 名学生, 根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之 间有线性相关关系, 设其回归直线方程为ˆy = ˆbx + ˆa, 已知 10 ∑ i=1 xi = 225, 10 ∑ i=1 yi = 1600, ˆb = 4, 该班某学生的脚长为24, 据此估计其身高为 ( ) 5分
   A. 160 B. 163 C. 166 D. 170
6. 6. 执行两次如图所示的程序框图, 若第一次输入的x 值为7, 第二次输入的x 值为9, 则第一次, 第二次输出的a 值分别为 ( ) 开始 输入正整数x b2 > x x 能被b 整除 输出a 结束 否 是 是 否 5分
   B. = 2 B. = b + 1 A. = 0 A. = 1 A. 0, 0 B. 1, 1 C. 0, 1 D. 1, 0
7. 7. 若a > b > 0, 且ab = 1, 则下列不等式成立的是 ( ) 2a < log2 (a + b) 2a < log2 (a + b) < a + 1 b 2a 2a 5分
   A. a + 1 B. < b B. b C. a + 1 B. < log2 (a + b) < b D. log2 (a + b) < a + 1 B. < b
8. 8. 从分别标有1, 2, · · · , 9 的9 张卡片中不放回地随机抽取2 次, 每次抽取1 张, 则抽到在2 张卡片上的数奇偶性不同的概率是 ( ) 18 9 9 9 5分
   A. 5 B. 4 C. 5 D. 7
9. 9. 在ABC 中, 角A, B, C 的对边分别为a, b, c, 若△ABC 为锐角三角形, 且满足sin B (1 + 2 cos C) = 2 sin A cos C + cos A sin C, 则下列等式成立的 是 ( ) 5分
   A. a = 2b B. b = 2a C. A = 2B D. B = 2A
10. 10. 已知当x ∈[0, 1] 时, 函数y = (mx −1)2 的图象与y = √x + m 的图象有 且只有一个交点, 则正实数m 的取值范围是 ( ) [ 2 √ 3, +∞ ) (C) ( 0, √ 2 ) ∪ [ 2 √ 3, +∞ ) (D) ( 0, √ 2 ] ∪[3, +∞) 5分
    A. (0, 1] ∪ B. (0, 1] ∪[3, +∞)

填空题（每题 5 分）（共 5 题）

1. 1. 已知(1 + 3x)n 的展开式中含有x2 的系数是54, 则n = . 5分
2. 2. 已知e1, e2 是互相垂直的单位向量, 若 √ 3e1 −e2 与e1 + λe2 的夹角为 60◦, 则实数λ 的值是 . 5分
3. 3. 由一个长方体和两个1 4 圆柱体构成的几何体的三视图如图, 则该几何体的 体积为 . 1 2 1 1 2 1 1 1 1 正视图(主视图) 侧视图(左视图) 俯视图 5分
4. 4. 在平面直角坐标系xOy 中, 双曲线x2 a2 −y2 b2 = 1 (a > 0, b > 0) 的右支与 焦点为F 的抛物线x2 = 2py (p > 0) 交于A, B 两点, 若|AF| + |BF| = 4|OF|, 则该双曲线的渐近线方程为 . 5分
5. 5. 若函数exf (x) (e = 2.71828 · · · 是自然对数的底数) 在f (x) 的定义域上 单调递增, 则称函数f (x) 具有M 性质. 下列函数中所有具有M 性质的 函数的序号为 . ①f (x) = 2−x; ②f (x) = 3−x; ③f (x) = x3; ④f (x) = x2 + 2. 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 设函数f (x) = sin ( ωx −π 6 ) + sin ( ωx −π 2 ) , 其中0 < ω < 3, 已知 f (π 6 ) = 0. (1) 求ω; (2) 将函数y = f (x) 的图象上各点的横坐标伸长为原来的2 倍(纵坐标不 变), 再将得到的图象向左平移π 4 个单位, 得到函数y = g (x) 的图象, 求 [ −π 4 , 3π 4 ] 上的最小值.
2. 2. 如图, 几何体是圆柱的一部分, 它是由矩形ABCD (及其内部) 以AB 边 所在直线为旋转轴旋转120◦得到的, G 是¯ DF 的中点. (1) 设P 是¯ CE 上的一点, 且AP ⊥BE, 求∠CBP 的大小; (2) 当AB = 3, AD = 2 时, 求二面角E −AG −C 的大小. A P F E B C D G 1049
3. 3. 在心理学研究中, 常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响, 具体方法如下: 将参加试验的志愿者随机分成两组, 一组接受甲种心理暗 示, 另一组接受乙种心理暗示, 通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的 结果来评价两种心理暗示的作用, 现有6 名男志愿者A1, A2, A3, A4, A5, A6 和4 名女志愿者B1, B2, B3, B4, 从中随机抽取5 人接受甲种心理暗 示, 另5 人接受乙种心理暗示. (1) 求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1 但不包含B1 的概率; (2) 用X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数, 求X 的分布列与数学 期望EX.
4. 4. 已知{xn} 是各项均为正数的等比数列, 且x1 + x2 = 3, x3 −x2 = 2. (1) 求数列{xn} 的通项公式; (2) 如图, 在平面直角坐标系xOy 中, 依次连接点P1 (x1, 1), P2 (x2, 2), · · · , Pn+1 (xn+1, n + 1) 得到折线P1P2 · · · Pn+1, 求由该折线与直线y = 0, x = x1, x = xn+1 所围成的区域的面积Tn. x1 x2 x3 x4 P1 P2 P3 P4 x y O • • • • • • • •
5. 5. 已知函数f(x) = x2 + 2 cos x, g(x) = ex(cos x −sin x + 2x −2), 其中 (1) 求曲线y = f(x) 在点(π, f(π)) 处的切线方程; (2) 令h(x) = g(x) −af(x) (a ∈R), 讨论h(x) 的单调性并判断有无极值, 有极值时求出极值.
6. 6. 在平面直角坐标系xOy 中, 椭圆E: x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 的离心率为 √ 2 2 , 焦距为2. (1) 求椭圆E 的方程. (2) 如图, 该直线l: y = k1x − √ 3 2 交椭圆E 于A, B 两点, C 是椭圆E 上 的一点, 直线OC 的斜率为k2, 且k1k2 = √ 2 4 , M 是线段OC 延长线上一 点, 且|MC| : |AB| = 2 : 3, ⊙M 的半径为|MC|, OS, OT 是⊙M 的两条 切线, 切点分别为S, T, 求∠SOT 的最大值, 并求取得最大值时直线l 的 斜率. x y O A B M l T S C • 1050

原卷配图（含真实几何/应用题图示）