2017年江苏

本卷为官方高考数学真题（2017年江苏），共 6 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 如图, 水平放置的正四棱柱形玻璃容器I 和正四棱台形玻璃容器II 的高均 为32 cm, 容器I 的底面对角线AC 的长为10 √ 7 cm, 容器II 的两底面对 角线EG, E1G1 的长分别为14 cm 和62 cm. 分别在容器I 和容器II 中 注入水, 水深均为12 cm. 现有一根玻璃棒l, 其长度为40 cm. (容器厚度, 玻璃棒粗细均忽略不计) (1) 将l 放在容器I 中, l 的一端置于点A 处, 另一端置于侧棱CC1 上, 求 l 没入水中部分的长度; (2) 将l 放在容器II 中, l 的一端置于点E 处, 另一端置于侧棱GG1 上, 求l 没入水中部分的长度. A B C D A1 B1 C1 D1 容器I E F G O O1 H E1 F1 G1 H1 容器II
2. 2. 对于给定的正整数k, 若数列{an} 满足: an−k + an−k+1 + · · · + an−1 + an+1 + · · · + an+k−1 + an+k = 2kan 对任意正整数n (n > k) 总成立, 则称 数列{an} 是“P (k) 数列”. (1) 证明: 等差数列{an} 是“P (3) 数列”; (2) 若数列{an} 既是“P (2) 数列”, 又是“P (3) 数列”, 证明: {an} 是等差 数列.
3. 3. 已知函数f (x) = x3 +ax2 +bx+1 (a > 0, b ∈R) 有极值, 且导函数f ′ (x) 的极值点是f (x) 的零点. (极值点是指函数取极值时对应的自变量的值) (1) 求b 关于a 的函数关系式, 并写出定义域; (2) 证明: b2 > 3a; (3) 若f (x), f ′ (x) 这两个函数的所有极值之和不小于−7 2, 求a 的取值范 围.
4. 4. 四选二. 【A】如图, AB 为半圆O 的直径, 直线PC 切半圆O 于点C, AP ⊥PC, P 为垂足. 求证: (1) ∠PAC = ∠CAB; (2) AC2 = AP · AB. A P B C O • 【B】已知矩阵A = [ 0 1 1 0 ] , B = [ 1 0 0 2 ] . (1) 求AB; (2) 若曲线C1: x2 8 + y2 2 = 1 在矩阵AB 对应的变换作用下得到另一曲线 C2, 求C2 的方程. 【C】在平面直角坐标系xOy 中, 已知直线l 的参数方程为    x = −8 + t, y = t 2, (t 为参数), 曲线C 的参数方程为 { x = 2s2, y = 2 √ 2s, (s 为参数). 设P 为曲线 【D】已知a, b, c, d 为实数, 且a2 + b2 = 4, c2 + d2 = 16, 证明ac + bd ⩽8.
5. 5. 如图, 在平行六面体ABCD −A1B1C1D1 中, AA1 ⊥平面ABCD, 且 AB = AD = 2, AA1 = √ 3, ∠BAD = 120◦. (1) 求异面直线A1B 与AC1 所成角的余弦值; (2) 求二面角B −A1D −A 的正弦值. A B C D A1 B1 C1 D1
6. 6. 已知一个口袋有m 个白球, n 个黑球(m, n ∈N∗, n ⩾2), 这些球除颜色 外全部相同. 现将口袋中的球随机的逐个取出, 并放入如图所示的编号为 1, 2, 3, · · · , m + n 的抽屉内, 其中第k 次取出的球放入编号为k 的抽屉 (k = 1, 2, 3, · · · , m + n). 1 2 3 · · · m + n (1) 试求编号为2 的抽屉内放的是黑球的概率p; (2) 随机变量X 表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数, E (X) 是 X 的数学期望, 证明: E (X) < n (m + n) (n −1). 1036

原卷配图（含真实几何/应用题图示）