2017年浙江

本卷为官方高考数学真题（2017年浙江），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 10 题）

1. 1. 已知集合P = {x | −1 < x < 1}, Q = {x | 0 < x < 2}, 那么P ∪Q = ( ) 5分
   A. (−1, 2) B. (0, 1) C. (−1, 0) D. (1, 2)
2. 2. 椭圆x2 9 + y2 4 = 1 的离心率是 ( ) (A) √ 13 3 (B) √ 5 3 3 9 5分
   C. 2 D. 5
3. 3. 某几何体的三视图如图所示(单位: cm), 则该几何体的体积(单位: cm2) 是 ( ) 3 1 1 1 1 正视图 侧视图 俯视图 2 + 1 2 + 3 2 + 1 2 + 3 5分
   A. π B. π C. 3π D. 3π
4. 4. 若x, y 满足约束条件        x ⩾0, x + y −3 ⩾0, x −2y ⩽0, 则z = x + 2y 的取值范围是( ) 5分
   A. [0, 6] B. [0, 4] C. [6, +∞) D. [4, +∞)
5. 5. 若函数f (x) = x2 + ax + b 在区间[0, 1] 上的最大值是M, 最小值是m, 则 M −m ( ) 5分
   A. 与a 有关, 且与b 有关 B. 与a 有关, 但与b 无关 C. 与a 无关, 且与b 无关 D. 与a 无关, 但与b 有关
6. 6. 已知等差数列{an} 的公差为d, 前n 项和为Sn, 则“d > 0”是“S4 + S6 > 2S5”的 ( ) 5分
   A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 7. 函数y = f (x) 的导函数y = f ′ (x) 的图象如图所示, 则函数y = f (x) 的 图象可能是 ( ) x y O (A) x y O (B) x y O (C) x y O (D) x y O 5分
8. 8. 已知随机变量ξi 满足P (ξi = 1) = pi, P (ξi = 0) = 1 −pi, i = 1, 2. 若 0 < p1 < p2 < 1 2, 则 ( ) 5分
   A. E (ξ1) < E (ξ2), D (ξ1) < D (ξ2) (B) E (ξ1) < E (ξ2), D (ξ1) > D (ξ2) C. E (ξ1) > E (ξ2), D (ξ1) < D (ξ2) (D) E (ξ1) > E (ξ2), D (ξ1) > D (ξ2)
9. 9. 如图, 已知正四面体D −ABC (所有棱长均相等的三棱锥), P, Q, R 分 别为AB, BC, CA 上的点, AP = PB, BQ QC = CR RA = 2, 分别记二面角 ( ) A P B R C Q D 5分
   D. −PR −Q, D −PQ −R, D −QR −P 的平面角为α, β, γ, 则 A. γ < α < β B. α < γ < β C. α < β < γ D. β < γ < α
10. 10. 如图, 已知平面四边形ABCD, AB ⊥BC, AB = BC = AD = 2, CD = 3, AC 与BD 交于点O, 记I1 = # » OA · # » OB, I2 = # » OB · # » OC, I3 = # » OC · # » OD, 则 ( ) A O B C D 5分
    A. I1 < I2 < I3 B. I1 < I3 < I2 C. I3 < I1 < I2 D. I2 < I1 < I3

填空题（每题 5 分）（共 7 题）

1. 1. 我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π, 理论上能把π 的 值计算到任意精度, 祖冲之继承并发展了“割圆术”, 将π 的值精确到小数 点后七位, 其结果领先世界一千多年, “割圆术”的第一步是计算单位圆内接 正六边形的面积S6, S6 = . 5分
2. 2. 已知a, b ∈R, (a + bi)2 = 3 + 4i (i 是虚数单位), 则a2 + b2 = , ab = . 5分
3. 3. 已知多项式(x + 1)3 (x + 2)2 = x5 + a1x4 + a2x3 + a3x2 + a4x + a5, 则 a4 = , a5 = . 5分
4. 4. 已知△ABC, AB = AC = 4, BC = 2, 点D 为AB 延长线上一点, BD = 2, 连接CD, 则△BDC 的面积是 , cos ∠BDC = . 5分
5. 5. 已知向量a, b 满足|a| = 1, |b| = 2, 则|a+b|+|a−b| 的最小值是 , 最大值是 . 5分
6. 6. 从6 男2 女共8 名学生中选出队长1 人, 副队长1 人, 普通队员2 人组 成4 人服务队, 要求服务队中至少有1 名女生, 共有 种不同的选法. (用数字作答) 5分
7. 7. 已知a ∈R, 函数f (x) = x + 4 x −a  + a 在区间[1, 4] 上的最大值是5, 则a 的取值范围是 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 5 题）

1. 1. 已知函数f (x) = sin2 x −cos2 x −2 √ 3 sin x cos x (x ∈R). (1) 求f (2π 3 ) 的值; (2) 求f (x) 的最小正周期及单调递增区间. 1059
2. 2. 如图, 已知四棱锥P −ABCD 中, △PAD 是以AD 为斜边的等腰直角三 角形, BC AD, CD ⊥AD, PC = AD = 2DC = 2CB, E 为PD 的中 点. (1) 证明: CE 平面PAB; (2) 求直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值. A P B C E D
3. 3. 已知函数f (x) = ( x −√2x −1 ) e−x ( x ⩾1 2 ) . (1) 求f (x) 的导函数; (2) 求f (x) 在区间 [1 2, +∞ ) 上的取值范围.
4. 4. 如图, 已知抛物线x2 = y, 点A ( −1 2, 1 4 ) , B (3 2, 9 4 ) , 抛物线上的点 P (x, y) ( −1 2 < x < 3 2 ) , 过点B 作直线AP 的垂线, 垂足为Q. (1) 求直线AP 斜率的取值范围; (2) 求|PA| · |PQ| 的最大值. B A Q P x y O
5. 5. 已知数列{xn} 满足: x1 = 1, xn = xn+1 + ln (1 + xn+1) (n ∈N∗), 证明: 当n ∈N∗时, (1) 0 < xn+1 < xn; (2) 2xn+1 −xn ⩽xnxn+1 2 ; (3) 1 2n−1 ⩽xn ⩽ 1 2n−2 . 1060

原卷配图（含真实几何/应用题图示）