2018年上海

本卷为官方高考数学真题（2018年上海），共 21 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

填空题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 行列式  4 1 2 5  的值为 . 5分
2. 2. 双曲线x2 4 −y2 = 1 的渐近线方程为 . 5分
3. 3. 在(1 + x)7 的二项展开式中, x2 项的系数为 . (结果用数值表示) 5分
4. 4. 设常数a ∈R, 函数f (x) = log2 (x + a). 若f (x) 的反函数的图象经过点 (3, 1), 则a = . 5分
5. 5. 已知复数z 满足(1 + i) z = 1 −7i (i 是虚数单位), 则|z| = . 5分
6. 6. 记等差数列{an} 的前n 项和为Sn. 若a3 = 0, a6 + a7 = 14, 则 S7 = . 5分
7. 7. 已知α ∈ { −2, −1, −1 2, 1 2, 1, 2, 3 } , 若幂函数f (x) = xα 为奇函数, 且 在(0, +∞) 上递减, 则α = . 5分
8. 8. 在平面直角坐标系中, 已知点A (−1, 0), B (2, 0), E, F 是y 轴上的两个动 点, 且 # » EF  = 2, 则# » AE · # » BF 的最小值为 . 5分
9. 9. 有编号互不相同的五个砝码, 其中5 克、3 克、1 克砝码各一个, 2 克砝码 两个. 从中随机选取三个, 则这三个砝码的总质量为9 克的概率是 . (结果用最简分数表示) 5分
10. 10. 设等比数列{an} 的通项公式为an = qn−1 (n ∈N∗), 前n 项和为Sn, 若 lim n→∞ Sn an+1 = 1 2, 则q = . 5分
11. 11. 已知常数a > 0, 函数f (x) = 2x 2x + ax 的图象经过点P ( p, 6 5 ) , Q ( q, −1 5 ) . 若2p+q = 36pq, 则a = . 5分
12. 12. 已知实数x1, x2, y1, y2 满足: x2 1 + y2 1 = 1, x2 2 + y2 2 = 1, x1x2 + y1y2 = 1 2, 则|x1 + y1 −1| √ 2 + |x2 + y2 −1| √ 2 的最大值为 . 5分

选择题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 设P 是椭圆x2 5 + y2 3 = 1 上的动点, 则P 到该椭圆的两个焦点的距离之 和为 ( ) √ 2 √ 3 √ 5 √ 2 5分
   A. 2 B. 2 C. 2 D. 4
2. 2. 已知a ∈R, 则“a > 1”是“1 ( ) 5分
   A. < 1”的 A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件
3. 3. 《九章算术》中, 称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马. 设 AA1 是正六棱柱的一条侧棱, 如图. 若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、 以AA1 为底面矩形的一边, 则这样的阳马的个数是 ( ) A A1 5分
   A. 4 B. 8 C. 12 D. 16
4. 4. 设D 是含数1 的有限实数集, f (x) 是定义在D 上的函数. 若f (x) 的图 象绕原点逆时针旋转π 6 后与原图象重合, 则在以下各项中, f (1) 的可能取 值只能是 ( ) (A) √ 3 (B) √ 3 2 (C) √ 3 3 5分
   D. 0

解答题（分值见原卷）（共 5 题）

1. 1. 已知圆锥的顶点为P, 底面圆心为O, 半径为2. (1) 设圆锥的母线长为4, 求圆锥的体积; (2) 设PO = 4, OA, OB 是底面半径, 且∠AOB = 90◦, M 为线段AB 的 中点, 如图, 求异面直线PM 与OB 所成的角的大小. O P A B M
2. 2. 设常数a ∈R, 函数f (x) = a sin 2x + 2 cos2 x. (1) 若f (x) 为偶函数, 求a 的值; (2) 若f (π 4 ) = √ 3 + 1, 求方程f (x) = 1 − √ 2 在区间[−π, π] 上的解. 1079
3. 3. 某群体的人均通勤时间, 是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的 平均用时. 某地上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤. 分析显示: 当S 中x% (0 < x < 100) 的成员自驾时, 自驾群体的人均通勤时间为    30, 0 < x ⩽30, 2x + 1800 x −90, 30 < x < 100, (单位: 分钟) 而公交群体的人 均通勤时间不受x 影响, 恒为40 分钟. 试根据上述分析结果回答下列问 题: (1) 当x 在什么范围内时, 公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均 通勤时间? (2) 求该地上班族S 的人均通勤时间g (x) 的表达式; 讨论g (x) 的单调性, 并说明其实际意义.
4. 4. 设常数t > 2. 在平面直角坐标系xOy 中, 已知点F (2, 0), 直线l: x = t, 曲线Γ: y2 = 8x (0 ⩽x ⩽t, y ⩾0). l 与x 轴交于点A、与Γ 交于点B. P, Q 分别是曲线Γ 与线段AB 上的动点. (1) 用t 表示点B 到点F 的距离; (2) 设t = 3, |FQ| = 2, 线段OQ 的中点在直线FP 上, 求△AQP 的面 积; (3) 设t = 8, 是否存在以FP, FQ 为邻边的矩形FPEQ, 使得点E 在Γ 上? 若存在, 求点P 的坐标; 若不存在, 说明理由.
5. 5. 给定无穷数列{an}, 若无穷数列{bn} 满足: 对任意n ∈N∗, 都有 |bn −an| ⩽1, 则称{bn} 与{an}“接近”. (1) 设{an} 是首项为1, 公比为1 2 的等比数列, bn = an+1 + 1, n ∈N∗, 判 断数列{bn} 是否与{an} 接近, 并说明理由; (2) 设数列{an} 的前四项为: a1 = 1, a2 = 2, a3 = 4, a4 = 8, {bn} 是一个 与{an} 接近的数列, 记集合M = {x | x = bi, i = 1, 2, 3, 4}, 求M 中元 素的个数m; (3) 已知{an} 是公差为d 的等差数列. 若存在数列{bn} 满足: {bn} 与 {an} 接近, 且在b2 −b1, b3 −b2, · · · , b201 −b200 中至少有100 个为正数, 求d 的取值范围. 1080

原卷配图（含真实几何/应用题图示）