2018年全国1（文科）

本卷为官方高考数学真题（2018年全国1（文科）），共 23 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 已知集合A = {0, 2}, B = {−2, −1, 0, 1, 2}, 则A ∩B = ( ) 5分
   A. {0, 2} B. {1, 2} C. {0} D. {−2, −1, 0, 1, 2}
2. 2. 设z = 1 −i 1 + i + 2i, 则|z| = ( ) 2 (D) √ 2 5分
   A. 0 B. 1 C. 1
3. 3. 某地区经过一年的新农村建设, 农村的经济收入增加了一倍. 实现翻番. 为 更好地了解该地区农村的经济收入变化情况, 统计了该地区新农村建设前 后农村的经济收入构成比例, 得到如下饼图: 4% 6% 60% 30% 第三产业收入 其他收入 种植收入 养殖收入 建设前经济收入构成比例 5% 28% 37% 30% 第三产业收入 其他收入 种植收入 养殖收入 建设后经济收入构成比例 则下面结论中不正确的是 ( ) 半 5分
   A. 新农村建设后, 种植收入减少 B. 新农村建设后, 其他收入增加了一倍以上 C. 新农村建设后, 养殖收入增加了一倍 D. 新农村建设后, 养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一
4. 4. 已知椭圆C: x2 a2 + y2 4 = 1 的一个焦点为(2, 0), 则C 的离心率为 ( ) 3 2 (C) √ 2 2 √ 2 3 5分
   A. 1 B. 1 D. 2
5. 5. 已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1, O2, 过直线O1O2 的平面截该圆 柱所得的截面是面积为8 的正方形, 则该圆柱的表面积为 ( ) √ 2π √ 2π 5分
   A. 12 B. 12π C. 8 D. 10π
6. 6. 设函数f (x) = x3 + (a −1) x2 + ax. 若f (x) 为奇函数, 则曲线y = f (x) 在点(0, 0) 处的切线方程为 ( ) 5分
   A. y = −2x B. y = −x C. y = 2x D. y = x
7. 7. 在△ABC 中, AD 为BC 边上的中线, E 为AD 的中点, 则# » EB = ( ) 4 # » AB −1 4 # » AC 4 # » AB −3 4 # » AC 4 # » AB + 1 4 # » AC 4 # » AB + 3 4 # » AC 5分
   A. 3 B. 1 C. 3 D. 1
8. 8. 已知函数f (x) = 2 cos2 x −sin2 x + 2, 则 ( ) 5分
   A. f (x) 的最小正周期为π, 最大值为3 B. f (x) 的最小正周期为π, 最大值为4 C. f (x) 的最小正周期为2π, 最大值为3 D. f (x) 的最小正周期为2π, 最大值为4
9. 9. 某圆柱的高为2, 底面周长为16, 其三视图如图. 圆柱表面上的点M 在正 视图上的对应点为A, 圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B, 则在 此圆柱侧面上, 从M 到N 的路径中, 最短路径的长度为 ( ) B A √ 17 √ 5 5分
   A. 2 B. 2 C. 3 D. 2
10. 10. 在长方体ABCD −A1B1C1D1 中, AB = BC = 2, AC1 与平面BB1C1C 所成的角为30◦, 则该长方体的体积为 ( ) √ 2 √ 2 √ 3 5分
    A. 8 B. 6 C. 8 D. 8
11. 11. 已知角α 的顶点为坐标原点, 始边与x 轴的非负半轴重合, 终边上有两点 3, 则|a −b| = ( ) 5 (B) √ 5 5 √ 5 5 5分
    A. (1, a), B (2, b), 且cos 2α = 2 A. 1 C. 2 D. 1
12. 12. 设函数f (x) = { 2−x, x ⩽0, 1, x > 0, 则满足f (x + 1) < f (2x) 的x 的取值范围 是 ( ) 5分
    A. (−∞, −1] B. (0, +∞) C. (−1, 0) D. (−∞, 0)

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 已知函数f (x) = log2 (x2 + a), 若f (3) = 1, 则a = . 5分
2. 2. 若x, y 满足约束条件        x −2y −2 ⩽0, x −y + 1 ⩾0, y ⩽0, 则z = 3x+2y 的最大值为 . 5分
3. 3. 直线y = x+1 与圆x2+y2+2y−3 = 0 交于A, B 两点, 则|AB| = . 5分
4. 4. △ABC 的内角A, B, C 的对边分别为a, b, c, 已知b sin C + c sin B = 4a sin B sin C, b2 + c2 −a2 = 8, 则△ABC 的面积为 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 7 题）

1. 1. 已知数列{an} 满足a1 = 1, nan+1 = 2 (n + 1) an, 设bn = an n . (1) 求b1, b2, b3; (2) 判断数列{bn} 是否为等比数列, 并说明理由; (3) 求{an} 的通项公式.
2. 2. 如图, 在平行四边形ABCM 中, AB = AC = 3, ∠ACM = 90◦, 以AC 为 折痕将△ACM 折起, 使点M 到达点D 的位置, 且AB ⊥DA. (1) 证明: 平面ACD ⊥平面ABC; (2) Q 为线段AD 上一点, P 为线段BC 上一点, 且BP = DQ = 2 3DA, 求三棱锥Q −ABP 的体积. A P M Q B C D 1069
3. 3. 某家庭记录了未使用节水龙头50 天的日用水量数据(单位: m3) 和使用了 节水龙头50 天的日用水量数据, 得到频数分布表如下: 未使用节水龙头50 天的日用水量频数分布表 日用水量 [0, 0.1) [0.1, 0.2) [0.2, 0.3) [0.3, 0.4) 频数 1 3 2 4 日用水量 [0.4, 0.5) [0.5, 0.6) [0.6, 0.7) 频数 9 26 5 使用了节水龙头50 天的日用水量频数分布表 日用水量 [0, 0.1) [0.1, 0.2) [0.2, 0.3) 频数 1 5 13 日用水量 [0.3, 0.4) [0.4, 0.5) [0.5, 0.6) 频数 10 16 5 (1) 在答题卡上作出使用了节水龙头50 天的日用水量数据的频率分布直 方图: 日用水量/m3 频率/组距 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0 3.2 3.4 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 (2) 估计该家庭使用节水龙头后, 日用水量小于0.35 m3 的概率; (3) 估计该家庭使用节水龙头后, 一年能节省多少水? (一年按365 天计算, 同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表.)
4. 4. 设抛物线C: y2 = 2x, 点A (2, 0), B (−2, 0), 过点A 的直线l 与C 交于 M, N 两点. (1) 当l 与x 轴垂直时, 求直线BM 的方程; (2) 证明: ∠ABM = ∠ABN.
5. 5. 已知函数f (x) = aex −ln x −1. (1) 设x = 2 是f (x) 的极值点. 求a, 并求f (x) 的单调区间; (2) 证明: 当a ⩾1
6. 6. 在直角坐标系xOy 中, 曲线C1 的方程为y = k |x| + 2. 以坐标原 点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线C2 的极坐标方程为 ρ2 + 2ρ cos θ −3 = 0. (1) 求C2 的直角坐标方程; (2) 若C1 与C2 有且仅有三个公共点, 求C1 的方程.
7. 7. 已知f (x) = |x + 1| −|ax −1|. (1) 当a = 1 时, 求不等式f (x) > 1 的解集; (2) 若x ∈(0, 1) 时不等式f (x) > x 成立, 求a 的取值范围. 1070

原卷配图（含真实几何/应用题图示）