2018年全国1（理科）

本卷为官方高考数学真题（2018年全国1（理科）），共 5 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

解答题（分值见原卷）（共 5 题）

1. 1. 设椭圆C: x2 2 + y2 = 1 的右焦点为F, 过F 的直线l 与C 交于A, B 两 点, 点M 的坐标为(2, 0). (1) 当l 与x 轴垂直时, 求直线AM 的方程; (2) 设O 为坐标原点, 证明: ∠OMA = ∠OMB.
2. 2. 某工厂的某种产品成箱包装, 每箱200 件, 每一箱产品在交付用户之前要 对产品作检验, 如检验出不合格品, 则更换为合格品. 检验时, 先从这箱产 品中任取20 件作检验, 再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检 验, 设每件产品为不合格品的概率都为p (0 < p < 1), 且各件产品是否为 不合格品相互独立. (1) 记20 件产品中恰有2 件不合格品的概率为f (p), 求f (p) 的最大值点 p0; (2) 现对一箱产品检验了20 件, 结果恰有2 件不合格品, 以(1) 中确定的 p0 作为p 的值. 已知每件产品的检验费用为2 元, 若有不合格品进入用户 手中, 则工厂要对每件不合格品支付25 元的赔偿费用. ①若不对该箱余下的产品作检验, 这一箱产品的检验费用与赔偿费用 的和记为X, 求EX; ②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据, 是否该对这箱余下 的所有产品作检验?
3. 3. 已知函数f (x) = 1 x −x + a ln x. (1) 讨论f (x) 的单调性; (2) 若f (x) 存在两个极值点x1, x2, 证明: f (x1) −f (x2) x1 −x2 < a −2.
4. 4. 在直角坐标系xOy 中, 曲线C1 的方程为y = k |x| + 2. 以坐标原 点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线C2 的极坐标方程为 ρ2 + 2ρ cos θ −3 = 0. (1) 求C2 的直角坐标方程; (2) 若C1 与C2 有且仅有三个公共点, 求C1 的方程.
5. 5. 已知f (x) = |x + 1| −|ax −1|. (1) 当a = 1 时, 求不等式f (x) > 1 的解集; (2) 若x ∈(0, 1) 时不等式f (x) > x 成立, 求a 的取值范围. 1068

原卷配图（含真实几何/应用题图示）