2018年全国2（理科）

本卷为官方高考数学真题（2018年全国2（理科）），共 23 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 1 + 2i 1 −2i = ( ) 5 −3 5i 5 + 3 5i 5 −4 5i 5 + 4 5i 5分
   A. −4 B. −4 C. −3 D. −3
2. 2. 已知集合A = {(x, y) | x2 + y2 ⩽3, x ∈Z, y ∈Z}, 则A 中元素的个数 为 ( ) 5分
   A. 9 B. 8 C. 5 D. 4
3. 3. 函数f (x) = ex −e−x x2 的图象大致为 ( ) (A) x 1 1 y O (B) x 1 1 y O (C) x 1 1 y O (D) x 1 1 y O 5分
4. 4. 已知向量a, b 满足|a| = 1, a · b = −1, 则a · (2a −b) = ( ) 5分
   A. 4 B. 3 C. 2 D. 0
5. 5. 双曲线x2 a2 −y2 b2 = 1 (a > 0, b > 0) 的离心率为 √ 3, 则其渐近线方程为( ) √ 2x √ 3x √ 2 2 x √ 3 2 x 5分
   A. y = ± B. y = ± C. y = ± D. y = ±
6. 6. 在△ABC 中, cos C 2 = √ 5 5 , BC = 1, AC = 5, 则AB = ( ) √ 2 (B) √ 30 (C) √ 29 √ 5 5分
   A. 4 D. 2
7. 7. 为计算S = 1 −1 2 + 1 3 −1 4 + · · · + 1 99 − 1 100, 设计了如图的程序框图, 则 在空白框中应填入 ( ) 开始 N = 0, T = 0 i = 1 i < 100 N = N + 1 i S = N −T 输出S T = T + 1 i + 1 结束 是 否 5分
   A. i = i + 1 B. i = i + 2 C. i = i + 3 D. i = i + 4
8. 8. 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果. 哥德 巴赫猜想是“每个大于2 的偶数可以表示为两个素数的和”, 如30 = 7 + 23. 在不超过30 的素数中, 随机选取两个不同的数, 其和等于30 的概率是( ) 12 14 15 18 5分
   A. 1 B. 1 C. 1 D. 1
9. 9. 在长方体ABCD −A1B1C1D1 中, AB = BC = 1, AA1 = √ 3, 则异面直 线AD1 与DB1 所成角的余弦值为 ( ) 5 (B) √ 5 6 (C) √ 5 5 (D) √ 2 2 5分
   A. 1
10. 10. 若f (x) = cos x −sin x 在[−a, a] 是减函数, 则a 的最大值是 ( ) 4 2 4 5分
    A. π B. π C. 3π D. π
11. 11. 已知f (x) 是定义域为(−∞, +∞) 的奇函数, 满足f (1 −x) = f (1 + x). 若f (1) = 2, 则f (1) + f (2) + f (3) + · · · + f (50) = ( ) 5分
    A. −50 B. 0 C. 2 D. 50
12. 12. 已知F1, F2 是椭圆C: x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 的左, 右焦点, A 是C 的左顶点, 点P 在过A 且斜率为 √ 3 6 的直线上, △PF1F2 为等腰三角形, ∠F1F2P = 120◦, 则C 的离心率为 ( ) 3 2 3 4 5分
    A. 2 B. 1 C. 1 D. 1

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 曲线y = 2 ln (x + 1) 在点(0, 0) 处的切线方程为 . 5分
2. 2. 若变量x, y 满足约束条件        x + 2y −5 ⩾0, x −2y + 3 ⩾0, x −5 ⩽0, 则z = x + y 的最大值 为 . 5分
3. 3. 已知sin α + cos β = 1, cos α + sin β = 0, 则sin (α + β) = . 5分
4. 4. 已知圆锥的顶点为S, 母线SA, SB 所成角的余弦值为7 8, SA 与圆锥底面 所成角为45◦, 若△SAB 的面积为5 √ 15, 则该圆锥的侧面积为 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 7 题）

1. 1. 记Sn 为等差数列{an} 的前n 项和, 已知a1 = −7, S3 = −15. (1) 求{an} 的通项公式; (2) 求Sn, 并求Sn 的最小值.
2. 2. 如图是某地区2000 年至2016 年环境基础设施投资额y (单位: 亿元) 的折 线图. 为了预测该地区2018 年的环境基础设施投资额, 建立了y 与时间变 量t 的两个线性回归模型. 根据2000 年至2016 年的数据(时间变量t 的值 依次为1, 2, · · · , 17) 建立模型①: ˆy = −30.4 + 13.5t; 根据2010 年至2016 年的数据(时间变量t 的值依次为1, 2, · · · , 7) 建立模型②: ˆy = 99+17.5t. (1) 分别利用这两个模型, 求该地区2018 年的环境基础设施投资额的预测 值; (2) 你认为用哪个模型得到的预测值更可靠? 并说明理由. 11 19 25 35 37 42 42 47 53 56 122129 148 171 184 209220 • • • • • • • • • • • • • • • • • 年份 投资额 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 0 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 1071
3. 3. 设抛物线C: y2 = 4x 的焦点为F, 过F 且斜率为k (k > 0) 的直线l 与 (1) 求l 的方程; (2) 求过点A, B 且与C 的准线相切的圆的方程.
4. 4. 如图, 在三棱锥P −ABC 中, AB = BC = 2 √ 2, PA = PB = PC = AC = 4, O 为AC 的中点. (1) 证明: PO ⊥平面ABC; (2) 若点M 在棱BC 上, 且二面角M −PA −C 为30◦, 求PC 与平面 PAM 所成角的正弦值. A P M B C O
5. 5. 已知函数f (x) = ex −ax2. (1) 若a = 1, 证明: 当x ⩾0 时, f (x) ⩾1; (2) 若f (x) 在(0, +∞) 只有一个零点, 求a.
6. 6. 在直角坐标系xOy 中, 曲线C 的参数方程为 { x = 2 cos θ, y = 4 sin θ, (θ 为参数), 直 线l 的参数方程为 { x = 1 + t cos α, y = 2 + t, sin α (t 为参数). (1) 求C 和l 的直角坐标方程; (2) 若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1, 2), 求l 的斜率.
7. 7. 设函数f (x) = 5 −|x + a| −|x −2|. (1) 当a = 1 时, 求不等式f (x) ⩾0 的解集; (2) 若f (x) ⩽1, 求a 的取值范围. 1072

原卷配图（含真实几何/应用题图示）