2018年北京（文科）

本卷为官方高考数学真题（2018年北京（文科）），共 20 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 8 题）

1. 1. 已知集合A = {x | |x| < 2}, B = {−2, 0, 1, 2}, 则A ∩B = ( ) 5分
   A. {0, 1} B. {−1, 0, 1} C. {−2, 0, 1, 2} (D) {−1, 0, 1, 2}
2. 2. 在复平面内, 复数 1 1 −i 的共轭复数对应的点位于 ( ) 5分
   A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 3. 执行如图所示的程序框图, 输出的s 值为 ( ) 开始 k = 1, s = 1 s = s + (−1)k · 1 1 + k k = k + 1 k ⩾3 输出s 结束 是 否 2 6 6 12 5分
   A. 1 B. 5 C. 7 D. 7
4. 4. 设a, b, c, d 是非零实数, 则“ad = bc”是“a, b, c, d 成等比数列”的 ( ) 5分
   A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 5. “〸二平均律”是通用的音律体系, 明代朱载堉最早用数学方法计算出半音 比例, 为这个理论的发展做出了重要贡献. 〸二平均律将一个纯八度音程 分成〸二份, 依次得到〸三个单音, 从第二个单音起, 每一个单音的频率与 它的前一个单音的频率的比都等于 12√ 2. 若第一个单音的频率为f, 则第 八个单音的频率为 ( ) (A) 3√ 2f (B) 3√ 22f (C) 12√ 25f (D) 12√ 27f 5分
6. 6. 某四棱锥的三视图如图所示, 在此四棱锥的侧面中, 直角三角形的个数 为 ( ) 2 2 1 1 正(主) 视图 俯视图 侧(左) 视图 5分
   A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7. 7. 在平面直角坐标系中, ˜ AB, ¯ CD, ˜ EF, ¯ GH 是圆x2 + y2 = 1 上的四段 弧(如图), 点P 在其中一段上, 角α 以Ox 为始边, OP 为终边. 若 tan α < cos α < sin α, 则P 所在的圆弧是 ( ) x y O A B C D E F G H AB CD EF GH 5分
   A. ˜ B. ¯ C. ˜ D. ¯
8. 8. 设集合A = {(x, y) | x −y ⩾1, ax + y > 4, x −ay ⩽2}, 则 ( ) 2 时, (2, 1)̸ ∈A 5分
   A. 对任意实数a, (2, 1) ∈A B. 对任意实数a, (2, 1)̸ ∈A C. 当且仅当a < 0 时, (2, 1)̸ ∈A D. 当且仅当a ⩽3

填空题（每题 5 分）（共 6 题）

1. 1. 设向量a = (1, 0), b (−1, m). 若a ⊥(ma −b), 则m = . 5分
2. 2. 已知直线l 过点(1, 0) 且垂直于x 轴. 若l 被抛物线y2 = 4ax 截得的线段 长为4, 则抛物线的焦点坐标为 . 5分
3. 3. 能说明“若a > b, 则1 b”为假命题的一组a, b 的值依次为 . 5分
   A. < 1
4. 4. 若双曲线x2 a2 −y2 4 = 1 (a > 0) 的离心率为 √ 5 2 , 则a = . 5分
5. 5. 若x, y 满足x + 1 ⩽y ⩽2x, 则2y −x 的最小值是 . 5分
6. 6. 若△ABC 的面积为 √ 3 4 (a2 + c2 −b2), 且∠C 为钝角, 则∠B = ; c . 5分
   A. 的取值范围是

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 设{an} 是等差数列, 且a1 = ln 2, a2 + a3 = 5 ln 2. (1) 求{an} 的通项公式; (2) 求ea1 + ea2 + · · · + ean.
2. 2. 已知函数f (x) = sin2 x + √ 3 sin x cos x. (1) 求f (x) 的最小正周期; (2) 若f (x) 在区间 [ −π 3 , m ] 上的最大值为3 2, 求m 的最小值. 1063
3. 3. 电影公司随机收集了电影的有关数据, 经分类整理得到下表: 电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类 电影部数 140 50 300 200 800 510 好评率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1 好评率是指: 一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值. (1) 从电影公司收集的电影中随机选取1 部, 求这部电影是获得好评的第 四类电影的概率; (2) 随机选取1 部电影, 估计这部电影没有获得好评的概率; (3) 电影公司为增加投资回报, 拟改变投资策略, 这将导致不同类型电影的 好评率发生变化. 假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化, 那么 哪类电影的好评率增加0.1, 哪类电影的好评率减少0.1, 使得获得好评的 电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大? (只需写出结论)
4. 4. 如图, 在四棱锥P −ABCD 中, 底面ABCD 为矩形, 平面PAD ⊥平面 ABCD, PA ⊥PD, PA = PD, E, F 分别为AD, PB 的中点. (1) 求证: PE ⊥BC; (2) 求证: 平面PAB ⊥平面PCD; (3) 求证: EF 平面PCD; A P F E B C D
5. 5. 设函数f (x) = [ax2 −(3a + 1) x + 3a + 2] ex. (1) 若曲线y = f (x) 在点(2, f (2)) 处的切线斜率为0, 求a; (2) 若f (x) 在x = 1 处取得极小值, 求a 的取值范围.
6. 6. 已知椭圆M: x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 的离心率为 √ 6 3 , 焦距为2 √ 2, 斜 率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A, B. (1) 求椭圆M 的方程; (2) 若k = 1, 求|AB| 的最大值; (3) 设P (−2, 0), 直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C, 直线PB 与椭圆 M 的另一个交点为D. 若C, D 和点Q ( −7 4, 1 4 ) 共线, 求k. 1064

原卷配图（含真实几何/应用题图示）