2018年北京（理科）

本卷为官方高考数学真题（2018年北京（理科）），共 20 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 8 题）

1. 1. 已知集合A = {x | |x| < 2}, B = {−2, 0, 1, 2}, 则A ∩B = ( ) 5分
   A. {0, 1} B. {−1, 0, 1} C. {−2, 0, 1, 2} (D) {−1, 0, 1, 2}
2. 2. 在复平面内, 复数 1 1 −i 的共轭复数对应的点位于 ( ) 5分
   A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 3. 执行如图所示的程序框图, 输出的s 值为 ( ) 开始 k = 1, s = 1 s = s + (−1)k · 1 1 + k k = k + 1 k ⩾3 输出s 结束 是 否 2 6 6 12 5分
   A. 1 B. 5 C. 7 D. 7
4. 4. “〸二平均律”是通用的音律体系, 明代朱载堉最早用数学方法计算出半音 比例, 为这个理论的发展做出了重要贡献. 〸二平均律将一个纯八度音程 分成〸二份, 依次得到〸三个单音, 从第二个单音起, 每一个单音的频率与 它的前一个单音的频率的比都等于 12√ 2. 若第一个单音的频率为f, 则第 八个单音的频率为 ( ) (A) 3√ 2f (B) 3√ 22f (C) 12√ 25f (D) 12√ 27f 5分
5. 5. 某四棱锥的三视图如图所示, 在此四棱锥的侧面中, 直角三角形的个数 为 ( ) 2 2 1 1 正(主) 视图 俯视图 侧(左) 视图 5分
   A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6. 6. 设a, b 均为单位向量, 则“|a −3b| = |3a + b|”是“a ⊥b”的 ( ) 5分
   A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 7. 在平面直角坐标系中, 记d 为点P (cos θ, sin θ) 到直线x −my −2 = 0 的 距离. 当θ, m 变化时, d 的最大值为 ( ) 5分
   A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8. 8. 设集合A = {(x, y) | x −y ⩾1, ax + y > 4, x −ay ⩽2}, 则 ( ) 2 时, (2, 1)̸ ∈A 5分
   A. 对任意实数a, (2, 1) ∈A B. 对任意实数a, (2, 1)̸ ∈A C. 当且仅当a < 0 时, (2, 1)̸ ∈A D. 当且仅当a ⩽3

填空题（每题 5 分）（共 6 题）

1. 1. 设{an} 是等差数列, 且a1 = 3, a2+a5 = 36, 则{an} 的通项公式为 . 5分
2. 2. 在极坐标系中, 直线ρ cos θ + ρ sin θ = a (a > 0) 与圆ρ = 2 cos θ 相切, 则 . 5分
   A. =
3. 3. 设函数f (x) = cos ( ωx −π 6 ) (ω > 0). 若f (x) ⩽f (π 4 ) 对任意的实数x 都成立, 则ω 的最小值为 . 5分
4. 4. 若x, y 满足x + 1 ⩽y ⩽2x, 则2y −x 的最小值是 . 5分
5. 5. 能说明“若f (x) > f (0) 对任意的x ∈(0, 2] 都成立, 则f (x) 在[0, 2] 上是 增函数”为假命题的一个函数是 . 5分
6. 6. 已知椭圆M: x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0), 双曲线N: x2 m2 −y2 n2 = 1. 若 双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为 一个正六边形的顶点, 则椭圆M 的离心率为 ; 双曲线N 的离心率 为 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 在△ABC 中, a = 7, b = 8, cos B = −1 7. (1) 求∠A; (2) 求AC 边上的高.
2. 2. 如图, 在三棱锥ABC −A1B1C1 中, CC1 ⊥平面ABC, D, E, F, G 分别 为AA1, AC, A1C1, BB1 的中点, AB = BC = √ 5, AC = AA1 = 2. (1) 求证: AC ⊥平面BEF; (2) 求二面角B −CD −C1 的余弦值; (3) 证明: 直线FG 与平面BCD 相交. A D B G C E F A1 B1 C1
3. 3. 电影公司随机收集了电影的有关数据, 经分类整理得到下表: 电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类 电影部数 140 50 300 200 800 510 好评率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1 好评率是指: 一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值. 假设所有电影是否获得好评相互独立. (1) 从电影公司收集的电影中随机选取1 部, 求这部电影是获得好评的第 四类电影的概率; (2) 从第四类电影和第五类电影中各随机选取1 部, 估计恰有1 部获得好 评的概率; (3) 假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等. 用“ξk = 1”表示第k 类电影得到人们喜欢, “ξk = 0”表示第k 类电影没有得 到人们喜欢(k = 1, 2, 3, 4, 5, 6). 写出方差Dξ1, Dξ2, Dξ3, Dξ4, Dξ5, Dξ6 的大小关系. 1061
4. 4. 设函数f (x) = [ax2 −(4a + 1) x + 4a + 3] ex. (1) 若曲线y = f (x) 在点(1, f (1)) 处的切线与x 轴平行, 求a; (2) 若f (x) 在x = 2 处取得极小值, 求a 的取值范围.
5. 5. 已知抛物线C: y2 = 2px 经过点P (1, 2). 过点Q (0, 1) 的直线l 与抛物线 N. (1) 求直线l 的斜率的取值范围; (2) 设O 为原点, # » QM = λ# » QO, # » QN = µ# » QO, 求证: 1 λ + 1 µ 为定值.
6. 6. 设n 为正整数, 集合A = {α|α = (t1, t2, · · · , tn), tk ∈{0, 1}, k = 1, 2, · · · , n}. 对于集合A 中的任意元素α = (x1, x2, · · · , xn) 和 β = (y1, y2, · · · , yn), 记M(α, β) = 1 2[(x1 +y1 −|x1 −y1|)+(x2 +y2 −|x2 − y2|) + · · · + (xn + yn −|xn −yn|)]. (1) 当n = 3 时, 若α = (1, 1, 0), β = (0, 1, 1), 求M(α, α) 和M(α, β) 的 值; (2) 当n = 4 时, 设B 是A 的子集, 且满足: 对于B 中的任意元素α, β, 当α, β 相同时, M(α, β) 是奇数; 当α, β 不同时, M(α, β) 是偶数. 求集 合B 中元素个数的最大值; (3) 给定不小于2 的n, 设B 是A 的子集, 且满足: 对于B 中的任意两个 不同的元素α, β, M(α, β) = 0. 写出一个集合B, 使其元素个数最多, 并 说明理由. 1062

原卷配图（含真实几何/应用题图示）