2018年天津（文科）

本卷为官方高考数学真题（2018年天津（文科）），共 20 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 8 题）

1. 1. 设集合A = {1, 2, 3, 4}, B = {−1, 0, 2, 3}, C = {x ∈R | −1 ⩽x < 2}, 则(A ∪B) ∩C = ( ) 5分
   A. {−1, 1} B. {0, 1} C. {−1, 0, 1} D. {2, 3, 4}
2. 2. 设变量x, y 满足约束条件              x + y ⩽5, 2x −y ⩽4, −x + y ⩽1, y ⩾0, 则目标函数z = 3x + 5y 的最大 值为 ( ) 5分
   A. 6 B. 19 C. 21 D. 45
3. 3. 设x ∈R, 则“x3 > 8”是“|x| > 2”的 ( ) 5分
   A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 4. 阅读如图所示的程序框图, 运行相应的程序, 若输入N 的值为20, 则输出 T 的值为 ( ) 开始 输入N i = 2, T = 0 N i 是整数? T = T + 1 i = i + 1 i ⩾5 输出T 结束 是 是 否 否 5分
   A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5. 5. 已知a = log3 7 2, b = (1 4 ) 1 3 , c = log 1 3 1 5, 则a, b, c 的大小关系为 ( ) 5分
   A. a > b > c B. b > a > c C. c > b > a D. c > a > b
6. 6. 将函数y = sin ( 2x + π 5 ) 的图象向右平移π 10 个单位长度, 所得图象对应 的函数 ( ) [ −π 4 , π 4 ] 上单调递增 [ −π 4 , 0 ] 上单调递减 [π 4 , π 2 ] 上单调递增 [π 2 , π ] 上单调递减 5分
   A. 在区间 B. 在区间 C. 在区间 D. 在区间
7. 7. 已知双曲线x2 a2 −y2 b2 = 1 (a > 0, b > 0) 的离心率为2, 过右焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于A, B 两点. 设A, B 到双曲线同一条渐近线的距 离分别为d1 和d2, 且d1 + d2 = 6, 则双曲线的方程为 ( ) 3 −y2 9 = 1 (B) x2 9 −y2 3 = 1 4 −y2 12 = 1 (D) x2 12 −y2 4 = 1 5分
   A. x2 C. x2
8. 8. 在如图的平面图形中, 已知OM = 1, ON = 2, ∠MON = 120◦, # » BM = 2# » MA, # » CN = 2# » NA, 则# » BC · # » OM 的值为 ( ) A B C M N O 5分
   A. −15 B. −9 C. −6 D. 0

填空题（每题 5 分）（共 6 题）

1. 1. i 是虚数单位, 复数6 + 7i 1 + 2i = . 5分
2. 2. 已知函数f (x) = ex ln x, f ′ (x) 为f (x) 的导函数, 则f ′ (1) 的值为 . 5分
3. 3. 如图, 已知正方体ABCD −A1B1C1D1 的棱长为1, 则四棱锥A1 − BB1D1D 的体积为 . A B C D A1 B1 C1 D1 5分
4. 4. 在平面直角坐标系中, 经过三点(0, 0), (1, 1), (2, 0) 的圆的方程为 . 5分
5. 5. 已知a, b ∈R, 且a −3b + 6 = 0, 则2a + 1 8b 的最小值为 . 5分
6. 6. 已知a ∈R, 函数f (x) = { x2 + 2x + a −2, x ⩽0, −x2 + 2x −2a, x > 0. 若对任意x ∈ [−3, +∞), f (x) ⩽|x| 恒成立, 则a 的取值范围是 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240, 160, 160. 现 采用分层抽样的方法从中抽取7 名同学去某敬老院参加献爱心活动. (1) 应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人? (2) 设抽出的7 名同学分别用A, B, C, D, E, F, G 表示, 现从中随机抽取 2 名同学承担敬老院的卫生工作. ①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果; ②设M 为事件“抽取的2 名同学来自同一年级”, 求事件M 发生的概 率.
2. 2. 在△ABC 中, 内角A, B, C 所对的边分别为a, b, c. 已知b sin A = ( 6 ) . (1) 求角B 的大小; (2) 设a = 2, c = 3, 求b 和sin (2A −B) 的值. 1083
3. 3. 如图, 在四面体ABCD 中, △ABC 是等边三角形, 平面ABC ⊥平面 ABD, 点M 为棱AB 的中点, AB = 2, AD = 2 √ 3, ∠BAD = 90◦. (1) 求证: AD ⊥BC; (2) 求异面直线BC 与MD 所成角的余弦值; (3) 求直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值. C B A D M
4. 4. 设{an} 是等差数列, 其前n 项和为Sn (n ∈N∗), {bn} 是等比数列, 公比 大于0, 其前n 项和为Tn (n ∈N∗). 已知b1 = 1, b3 = b2 +2, b4 = a3 +a5, b5 = a4 + 2a6. (1) 求Sn 和Tn; (2) 若Sn + (T1 + T2 + · · · + Tn) = an + 4bn, 求正整数n 的值.
5. 5. 设椭圆x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 的右顶点为A, 上顶点为B. 已知椭圆的 离心率为 √ 5 3 , |AB| = √ 13. (1) 求椭圆的方程; (2) 设直线l :y = kx (k < 0) 与椭圆交于P, Q 两点, l 与直线AB 交于点 M, 且点P, M 均在第四象限. 若△BPM 的面积是△BPQ 面积的2 倍, 求k 的值.
6. 6. 设函数f (x) = (x −t1) (x −t2) (x −t3), 其中t1, t2, t3 ∈R, 且t1, t2, t3 是公差为d 的等差数列. (1) 若t2 = 0, d = 1, 求曲线y = f (x) 在点(0, f (0)) 处的切线方程; (2) 若d = 3, 求f (x) 的极值; (3) 若曲线y = f (x) 与直线y = −(x −t2) −6 √ 3 有三个互异的公共点, 求d 的取值范围. 1084

原卷配图（含真实几何/应用题图示）