2018年天津（理科）

本卷为官方高考数学真题（2018年天津（理科）），共 20 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 8 题）

1. 1. 设全集为R, 集合A = {x | 0 < x < 2}, B = {x | x ⩾1}, 则A ∩ (∁RB) = ( ) 5分
   A. {x | 0 < x ⩽1} B. {x | 0 < x < 1} C. {x | 1 ⩽x < 2} D. {x | 0 < x < 2}
2. 2. 设变量x, y 满足约束条件              x + y ⩽5, 2x −y ⩽4, −x + y ⩽1, y ⩾0, 则目标函数z = 3x + 5y 的最大 值为 ( ) 5分
   A. 6 B. 19 C. 21 D. 45
3. 3. 阅读如图所示的程序框图, 运行相应的程序, 若输入N 的值为20, 则输出 T 的值为 ( ) 开始 输入N i = 2, T = 0 N i 是整数? T = T + 1 i = i + 1 i ⩾5 输出T 结束 是 是 否 否 5分
   A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4. 4. 设x ∈R, 则“ x −1 2  < 1 2”是“x3 < 1”的 ( ) 5分
   A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 5. 已知a = log2 e, b = ln 2, c = log 1 2 1 3, 则a, b, c 的大小关系为 ( ) 5分
   A. a > b > c B. b > a > c C. c > b > a D. c > a > b
6. 6. 将函数y = sin ( 2x + π 5 ) 的图象向右平移π 10 个单位长度, 所得图象对应 的函数 ( ) [3π 4 , 5π 4 ] 上单调递增 [3π 4 , π ] 上单调递减 [5π 4 , 3π 2 ] 上单调递增 [3π 2 , 2π ] 上单调递减 5分
   A. 在区间 B. 在区间 C. 在区间 D. 在区间
7. 7. 已知双曲线x2 a2 −y2 b2 = 1 (a > 0, b > 0) 的离心率为2, 过右焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于A, B 两点. 设A, B 到双曲线同一条渐近线的距 离分别为d1 和d2, 且d1 + d2 = 6, 则双曲线的方程为 ( ) 4 −y2 12 = 1 (B) x2 12 −y2 4 = 1 3 −y2 9 = 1 9 −y2 3 = 1 5分
   A. x2 C. x2 D. x2
8. 8. 如图, 在平面四边形ABCD 中, AB ⊥BC, AD ⊥CD, ∠BAD = 120◦, AB = AD = 1. 若点E 为边CD 上的动点, 则# » AE · # » BE 的最小值为( ) A B C D E 16 2 16 5分
   A. 21 B. 3 C. 25 D. 3

填空题（每题 5 分）（共 6 题）

1. 1. i 是虚数单位, 复数6 + 7i 1 + 2i = . 5分
2. 2. 在 ( x − 1 2√x )5 的展开式中, x2 的系数为 . 5分
3. 3. 已知正方体ABCD −A1B1C1D1 的棱长为1, 除面ABCD 外, 该正方体 其余各面的中心分别为点E, F, G, H, M (如图), 则四棱锥M −EFGH 的体积为 . A B C D E F G H M A1 B1 C1 D1 5分
4. 4. 已知圆x2 + y2 −2x = 0 的圆心为C, 直线        x = −1 + √ 2 2 t, y = 3 − √ 2 2 t, (t 为参数) 与该圆相交于A, B 两点, 则△ABC 的面积为 . 5分
5. 5. 已知a, b ∈R, 且a −3b + 6 = 0, 则2a + 1 8b 的最小值为 . 5分
6. 6. 已知a > 0, 函数f (x) = { x2 + 2ax + a, x ⩽0, −x2 + 2ax −2a, x > 0. 若关于x 的方程 . 5分
   F. (x) = ax 恰有2 个互异的实数解, 则a 的取值范围是

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 在△ABC 中, 内角A, B, C 所对的边分别为a, b, c. 已知b sin A = ( 6 ) . (1) 求角B 的大小; (2) 设a = 2, c = 3, 求b 和sin (2A −B) 的值.
2. 2. 已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24, 16, 16. 现采用分层 抽样的方法从中抽取7 人, 进行睡眠时间的调查. (1) 应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人? (2) 若抽出的7 人中有4 人睡眠不足, 3 人睡眠充足, 现从这7 人中随机抽 取3 人做进一步的身体检查. ①用X 表示抽取的3 人中睡眠不足的员工人数, 求随机变量X 的分 布列与数学期望; ②设A 为事件“抽取的3 人中, 既有睡眠充足的员工, 也有睡眠不足的 员工”, 求事件A 发生的概率. 1081
3. 3. 如图, AD BC 且AD = 2BC, AD ⊥CD, EG AD 且EG = AD, CD FG 且CD = 2FG, DG ⊥平面ABCD, DA = DC = DG = 2. (1) 若M 为CF 的中点, N 为EG 的中点, 求证: MN 平面CDE; (2) 求二面角E −BC −F 的正弦值; (3) 若点P 在线段DG 上, 且直线BP 与平面ADGE 所成的角为60◦, 求 线段DP 的长. A B C D E F G N M
4. 4. 设{an} 是等比数列, 公比大于0, 其前n 项和为Sn (n ∈N∗), {bn} 是等 差数列. 已知a1 = 1, a3 = a2 + 2, a4 = b3 + b5, a5 = b4 + 2b6. (1) 求{an} 和{bn} 的通项公式; (2) 设数列{Sn} 的前n 项和为Tn (n ∈N∗). ①求Tn; ②证明 n∑ k=1 (Tk + bk+2) bk (k + 1) (k + 2) = 2n+2 n + 2 −2 (n ∈N∗).
5. 5. 设椭圆x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 的左焦点为F, 上顶点为B. 已知椭圆的 离心率为 √ 5 3 , 点A 的坐标为(b, 0), 且|FB| · |AB| = 6 √ 2. (1) 求椭圆的方程; (2) 设直线l: y = kx (k > 0) 与椭圆在第一象限的交点为P, 且l 与直线 AB 交于点Q. 若|AQ| |PQ| = 5 √ 2 4 sin ∠AOQ (O 为原点), 求k 的值.
6. 6. 已知函数f (x) = ax, g (x) = logax, 其中a > 1. (1) 求函数h (x) = f (x) −x ln a 的单调区间; (2) 若曲线y = f (x) 在点(x1, f (x1)) 处的切线与曲线y = g (x) 在点 (x2, g (x2)) 处的切线平行, 证明x1 + g (x2) = −2 ln ln a ln a ; (3) 证明当a ⩾e 1 y = g (x) 的切线. 1082

原卷配图（含真实几何/应用题图示）