2018年江苏

本卷为官方高考数学真题（2018年江苏），共 23 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

填空题（每题 5 分）（共 14 题）

1. 1. 已知集合A = {0, 1, 2, 8}, B = {−1, 1, 6, 8}, 那么A ∩B = . 5分
2. 2. 若复数z 满足i · z = 1 + 2i, 其中i 是虚数单位, 则z 的实部为 . 5分
3. 3. 已知5 位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示, 那么这5 位裁判 打出的分数的平均数为 . 8 9 9 9 0 1 1 5分
4. 4. 一个算法的伪代码如图所示, 执行此算法, 最后输出的S 的值为 . I ←1 S ←1 While I < 6 I ←I + 2 S ←2S End While Print S 5分
5. 5. 函数f (x) = √ log2x −1 的定义域为 . 5分
6. 6. 某兴趣小组有2 名男生和3 名女生, 现从中任选2 名学生去参加活动, 则 恰好选中2 名女生的概率为 . 5分
7. 7. 已知函数y = sin (2x + φ) ( −π 2 < φ < π 2 ) 的图象关于直线x = π 3 对称, 则φ 的值为 . 5分
8. 8. 在平面直角坐标系xOy 中, 若双曲线x2 a2 −y2 b2 = 1 (a > 0, b > 0) 的右焦 点F (c, 0) 到一条渐近线的距离为 √ 3 2 c, 则其离心率的值为 . 5分
9. 9. 函数f (x) 满足f (x + 4) = f (x) (x ∈R), 且在区间(−2, 2] 上, f (x) =      cos πx 2 , 0 < x ⩽2, x + 1 2  , −2 < x ⩽0, 则f (f (15)) 的值为 . 5分
10. 10. 如图所示, 正方体的棱长为2, 以其所有面的中心为顶点的多面体的体积 为 . 5分
11. 11. 若函数f (x) = 2x3 −ax2 + 1 (a ∈R) 在(0, +∞) 内有且只有一个零点, 则f (x) 在[−1, 1] 上的最大值与最小值的和为 . 5分
12. 12. 在平面直角坐标系xOy 中, A 为直线l : y = 2x 上在第一象限内的点, AB · # » CD = 0, 则点A 的横坐标为 . 5分
    B. (5, 0), 以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D. 若# »
13. 13. 在△ABC 中, 角A, B, C 所对的边分别为a, b, c, ∠ABC = 120◦, ∠ABC 的平分线交AC 于点D, 且BD = 1, 则4a + c 的最小值为 . 5分
14. 14. 已知集合A = {x | x = 2n −1, n ∈N∗}, B = {x | x = 2n, n ∈N∗}. 将 {an} 的前n 项和, 则使得Sn > 12an+1 成立的n 的最小值为 . 5分
    A. ∪B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{an}. 记Sn 为数列

解答题（分值见原卷）（共 9 题）

1. 1. 在平行六面体ABCD −A1B1C1D1 中, AA1 = AB, AB1 ⊥B1C1. 求证: (1) AB 平面A1B1C; (2) 平面ABB1A1 ⊥平面A1BC. A B C D A1 B1 C1 D1
2. 2. 已知α, β 为锐角, tan α = 4 3, cos (α + β) = − √ 5 5 . (1) 求cos 2α 的值; (2) 求tan (α −β) 的值.
3. 3. 某农场有一块农田, 如图所示, 它的边界由圆O 的一段圆弧MPN (P 为 此圆弧的中点) 和线段MN 构成. 已知圆O 的半径为40 米, 点P 到MN 的距离为50 米. 现规划在此农田上修建两个温室大棚, 大棚I 内的地块形 状为矩形ABCD, 大棚II 内的地块形状为△CDP, 要求A, B 均在线段 MN 上, C, D 均在圆弧上. 设OC 与MN 所成的角为θ. (1) 用θ 分别表示矩形ABCD 和△CDP 的面积, 并确定sin θ 的取值范 围; (2) 若大棚I 内种植甲种蔬菜, 大棚II 内种植乙种蔬菜, 且甲、乙两种蔬菜 的单位面积年产值之比为4 : 3. 求当θ 为何值时, 能使甲、乙两种蔬菜的 年总产值最大. A B C M N O P D
4. 4. 如图, 在平面直角坐标系xOy 中, 椭圆C 过点 (√ 3, 1 2 ) , 焦点为 F1 ( − √ 3, 0 ) , F2 (√ 3, 0 ) , 圆O 的直径为F1F2. (1) 求椭圆C 及圆O 的方程; (2) 设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P. ①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点, 求点P 的坐标; ②直线l 与椭圆C 交于A, B 两点. 若△OAB 的面积为2 √ 6 7 , 求直 线l 的方程. F1 F2 x y O 1065
5. 5. 记f ′ (x), g′ (x) 分别为函数f (x), g (x) 的导函数. 若存在x0 ∈R, 满足 “S 点”. (1) 证明: 函数f (x) = x 与g (x) = x2 + 2x −2 不存在“S 点”; (2) 若函数f (x) = ax2 −1 与g (x) = ln x 存在“S 点”, 求实数a 的值; (3) 已知函数f (x) = −x2 + a, g (x) = bex x . 对任意a > 0, 判断是否存在
6. 6. 设{an} 是首项为a1, 公差为d 的等差数列, {bn} 是首项为b1, 公比为q 的等比数列. (1) 设a1 = 0, b1 = 1, q = 2, 若|an −bn| ⩽b1 对n = 1, 2, 3, 4 均成立, 求 (2) 若a1 = b1 > 0, m ∈N∗, q ∈ ( 1, m√ 2 ] , 证明: 存在d ∈R, 使得 |an −bn| ⩽b1 对n = 2, 3, · · · , m + 1 均成立, 并求d 的取值范围(用b1, m, q 表示).
7. 7. 四选二. 【A】如图, 圆O 的半径为2, AB 为圆O 的直径, P 为AB 延长线上一点, 过P 作圆O 的切线, 切点为C. 若PC = 2 √ 3, 求BC 的长. A P B C O • 【B】已知矩阵A = [ 2 3 1 2 ] . (1) 求A 的逆矩阵A−1; (2) 若点P 在矩阵A 对应的变换作用下得到点P ′ (3, 1), 求点P 的坐标. 【C】在极坐标系中, 直线l 的方程为ρ sin (π 6 −θ ) = 2, 曲线C 的方程为 ρ = 4 cos θ, 求直线l 被曲线C 截得的弦长. 【D】若x, y, z 为实数, 且x + 2y + 2z = 6, 求x2 + y2 + z2 的最小值.
8. 8. 如图, 在正三棱柱ABC −A1B1C1 中, AB = AA1 = 2, 点P, Q 分别为 A1B1, BC 的中点. (1) 求异面直线BP 与AC1 所成角的余弦值; (2) 求直线CC1 与平面AQC1 所成角的正弦值. A P C B A1 C1 Q B1
9. 9. 设n ∈N∗, 对1, 2, · · · , n 的一个排列i1i2 · · · in, 如果当s < t 时, 有 is > it, 则称(is, it) 是排列i1i2 · · · in 的一个逆序, 排列i1i2 · · · in 的所有 逆序的总个数称为其逆序数. 例如: 对1, 2, 3 的一个排列231, 只有两个逆 序(2, 1), (3, 1), 则排列231 的逆序数为2. 记fn (k) 为1, 2, · · · , n 的所有 排列中逆序数为k 的全部排列的个数. (1) 求f3 (2), f4 (2) 的值; (2) 求fn (2) (n ⩾5) 的表达式(用n 表示). 1066

原卷配图（含真实几何/应用题图示）