2018年浙江

本卷为官方高考数学真题（2018年浙江），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 10 题）

1. 1. 已知全集U = {1, 2, 3, 4, 5}, A = {1, 3}, 则∁UA = ( ) 5分
   A. ∅ B. {1, 3} C. {2, 4, 5} D. {1, 2, 3, 4, 5}
2. 2. 双曲线x2 3 −y2 = 1 的焦点坐标是 ( ) (A) ( − √ 2, 0 ) , (√ 2, 0 ) (C) ( 0, − √ 2 ) , ( 0, √ 2 ) 5分
   B. (−2, 0), (2, 0) D. (0, −2), (0, 2)
3. 3. 某几何体的三视图如图所示(单位: cm), 则该几何体的体积(单位: cm3) 是 ( ) 1 1 2 2 正视图 俯视图 侧视图 5分
   A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
4. 4. 复数 2 1 −i (i 为虚数单位) 的共轭复数是 ( ) 5分
   A. 1 + i B. 1 −i C. −1 + i D. −1 −i
5. 5. 函数y = 2|x| sin 2x 的图象可能是 ( ) (A) x −π π y O (B) x −π π y O (C) x −π π y O (D) x −π π y O 5分
6. 6. 已知平面α, 直线m, n 满足m̸ ⊂α, n ⊂α, 则“m n”是“m α”的 ( ) 5分
   A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 7. 设0 < p < 1, 随机变量ξ 的分布列是 ξ 0 1 2 P 1 −p 2 1 2 p 2 则当p 在(0, 1) 内增大时, ( ) 5分
   A. D (ξ) 减小 B. D (ξ) 增大 C. D (ξ) 先减小后增大 D. D (ξ) 先增大后减小
8. 8. 已知四棱锥S −ABCD 的底面是正方形, 侧棱长均相等, E 是线段AB 上 的点(不含端点), 设SE 与BC 所成的角为θ1, SE 与平面ABCD 所成 的角为θ2, 二面角S −AB −C 的平面角为θ3, 则 ( ) 5分
   A. θ1 ⩽θ2 ⩽θ3 B. θ3 ⩽θ2 ⩽θ1 C. θ1 ⩽θ3 ⩽θ2 D. θ2 ⩽θ3 ⩽θ1
9. 9. 已知a, b, e 是平面向量, e 是单位向量. 若非零向量a 与e 的夹角为π 3 , 向量b 满足b2 −4e · b + 3 = 0, 则|a −b| 的最小值是 ( ) (A) √ 3 −1 (B) √ 3 + 1 √ 3 5分
   C. 2 D. 2 −
10. 10. 已知a1, a2, a3, a4 成等比数列, 且a1 + a2 + a3 + a4 = ln (a1 + a2 + a3). 若a1 > 1, 则 ( ) 5分
    A. a1 < a3, a2 < a4 B. a1 > a3, a2 < a4 C. a1 < a3, a2 > a4 D. a1 > a3, a2 > a4

填空题（每题 5 分）（共 7 题）

1. 1. 我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题: “今有鸡翁一, 值钱五; 鸡母一, 值钱三; 鸡雏三, 值钱一. 凡百钱, 买鸡百只, 问鸡翁、母、雏各几 何? ”设鸡翁, 鸡母, 鸡雏个数分别为x, y, z, 则    x + y + z = 100, 5x + 3y + 1 3z = 100, 当 z = 81 时, x = , y = . 5分
2. 2. 若x, y 满足约束条件        x −y ⩾0, 2x + y ⩽6, x + y ⩾2, 则z = x + 3y 的最小值是 , 最 大值是 . 5分
3. 3. 在△ABC 中, 角A, B, C 所对的边分别为a, b, c. 若a = √ 7, b = 2, , c = . 5分
   A. = 60◦, 则sin B =
4. 4. 二项式 ( 3√x + 1 2x )8 的展开式的常数项是 . 5分
5. 5. 已知λ ∈R, 函数f (x) = { x −4, x ⩾λ, x2 −4x + 3, x < λ, 当λ = 2 时, 不等式 . 若函数f (x) 恰有2 个零点, 则λ 的取值范围 是 . 5分
   F. (x) < 0 的解集是
6. 6. 从1, 3, 5, 7, 9 中任取2 个数字, 从0, 2, 4, 6 中任取2 个数字, 一共可以 组成 个没有重复数字的四位数. (用数字作答) 5分
7. 7. 已知点P (0, 1), 椭圆x2 4 +y2 = m (m > 1) 上两点A, B 满足# » AP = 2# » PB, 则当m = 时, 点B 横坐标的绝对值最大. 5分

解答题（分值见原卷）（共 5 题）

1. 1. 已知角α 的顶点与原点O 重合, 始边与x 轴的非负半轴重合, 它的终边过 点P ( −3 5, −4 5 ) . (1) 求sin (α + π) 的值; (2) 若角β 满足sin (α + β) = 5 13, 求cos β 的值.
2. 2. 如图, 已知多面体ABCA1B1C1, A1A, B1B, C1C 均垂直于平面ABC, ∠ABC = 120◦, A1A = 4, C1C = 1, AB = BC = B1B = 2. (1) 证明: AB1 ⊥平面A1B1C1; (2) 求直线AC1 与平面ABB1 所成的角的正弦值. B1 C1 A1 B C A 1085
3. 3. 已知等比数列{an} 的公比q > 1, 且a3 + a4 + a5 = 28, a4 + 2 是a3, a5 的等差中项. 数列{bn} 满足b1 = 1, 数列{(bn+1 −bn) an} 的前n 项和为 2n2 + n. (1) 求q 的值; (2) 求数列{bn} 的通项公式.
4. 4. 如图, 已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴) 一点, 抛物线C: y2 = 4x 上存在 不同的两点A, B 满足PA, PB 的中点均在C 上. (1) 设AB 中点为M, 证明: PM 垂直于y 轴; (2) 若P 是半椭圆x2 + y2 4 = 1 (x < 0) 上的动点, 求△PAB 面积的取值 范围. B A M P x y O
5. 5. 已知函数f (x) = √x −ln x. (1) 若f (x) 在x = x1, x2 (x1̸ = x2) 处导数相等, 证明: f (x1) + f (x2) > 8 −8 ln 2; (2) 若a ⩽3 −4 ln 2, 证明: 对于任意k > 0, 直线y = kx + a 与曲线 y = f (x) 有唯一公共点. 1086

原卷配图（含真实几何/应用题图示）