2019年上海

本卷为官方高考数学真题（2019年上海），共 21 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

填空题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 已知集合A = (−∞, 3), B = (2, +∞), 则A ∩B = . 5分
2. 2. 已知z ∈C 且满足 1 z −5 = i, 求z = . 5分
3. 3. 已知向量a = (1, 0, 2), b = (2, 1, 0), 则a 与b 的夹角为 . 5分
4. 4. 已知二项式(2x + 1)5, 则展开式中含x2 项的系数为 . 5分
5. 5. 已知x、y 满足        x ⩾0, y ⩾0, x + y ⩽2, 求z = 2x −3y 的最小值为 . 5分
6. 6. 已知函数f (x) 周期为1, 且当0 < x ⩽1 时, f (x) = −log2x, 则 f (3 2 ) = . 5分
7. 7. 若x, y ∈R+, 且1 x + 2y = 3, 则y x 的最大值为 . 5分
8. 8. 已知数列{an} 前n 项和为Sn, 且满足Sn + an = 2, 则S5 = . 5分
9. 9. 过y2 = 4x 的焦点F 并垂直于x 轴的直线分别与y2 = 4x 交于A、B, A 在B 上方, M 为抛物线上一点, # » OM = λ# » OA + (λ −2) # » OB, 则λ = . 5分
10. 10. 某三位数密码锁, 每位数字在0 −9 数字中选取, 其中恰有两位数字相同的 概率是 . 5分
11. 11. 已知数列{an} 满足an < an+1 (n ∈N∗), 若点Pn (n, an) 在双曲线 x2 6 −y2 2 = 1 上, 则lim n→∞|PnPn+1| = . 5分
12. 12. 常数a > 0, 将函数y = 2 x (x > 0) 的图象先向右平移1 个单位, 再向下平 移a 个单位, 然后将所得的图象在x 轴下方的部分沿x 轴向上翻折, 其余 部分保持不变, 得到函数f (x) =  2 x −1 −a  (x > 1) 的图象L, 当a = a0 时, L 与x 轴交点为A, 在L 上任意一点P (P 异于A), 总存在一点Q 使 得AP ⊥AQ 且|AP| = |AQ|, 则a0 = . 5分

选择题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 已知直线方程2x −y + c = 0 的一个方向向量d 可以是 ( ) 5分
   A. (2, −1) B. (2, 1) C. (−1, 2) D. (1, 2)
2. 2. 一个直角三角形的两条直角边长分别为1 和2, 将该三角形分别绕其两个 直角边旋转得到的两个圆锥的体积之比为 ( ) 5分
   A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
3. 3. 已知ω ∈R, 函数f (x) = (x −6)2 · sin (ωx), 存在常数a ∈R, 使得 ( ) 2 3 4 5 5分
   F. (x + a) 为偶函数, 则ω 可能的值为 A. π B. π C. π D. π
4. 4. 已知tan α · tan β = tan(α + β). ①存在角α 在第一象限, 角β 在第三象 限; ②存在角α 在第二象限, 角β 在第四象限; 那么 ( ) 5分
   A. ①②均正确 B. ①②均错误 C. ①正确, ②错误 D. ①错误, ②正确

解答题（分值见原卷）（共 5 题）

1. 1. 如图, 在长方体ABCD−A1B1C1D1 中, M 为BB1 上一点, 已知BM = 2, AD = 4, CD = 3, AA1 = 5. (1) 求直线A1C 与平面ABCD 的夹角; (2) 求点A 到平面A1MC 的距离. B C D M A A1 B1 C1 D1
2. 2. 已知f (x) = ax + 1 x + 1 (a ∈R). (1) 当a = 1 时, 求不等式f (x) + 1 < f (x + 1) 的解集; (2) 若x ∈[1, 2] 时, f (x) 有零点, 求a 的范围. 1105
3. 3. 如图, 某段海岸线可近似看作一条曲线, 该曲线由线段AB 和四分之一圆 周¯ BC 构成, D 为一海岛, B 在D 的正北方向, 且B、D 相距39.2 千米, 68◦方向. (1) 若沿¯ BC 建观光道, 计算该观光道的长度; (精确到0.001 千米) (2) 现规划在该海岸线上选取一点E, 修建从E 直通D 的公路桥, 已知A、 B C A D 58◦ 68◦ 22◦
4. 4. 已知椭圆x2 8 + y2 4 = 1, F1, F2 分别为左、右焦点, 直线l 过F2 交椭圆于 (1) 若直线l 垂直于x 轴, 求|AB|; (2) 当∠F1AB = 90◦时, 点A 在x 轴上方, 求A, B 的坐标; (3) 设直线AF1 交y 轴于点M, 直线BF1 交y 轴于点N, 是否存在直线 l, 使得S△F1AB = S△F1MN, 若存在, 求出直线l 的方程; 若不存在, 请说明 理由.
5. 5. 数列{an} 有100 项, a1 = a, 对任意n ∈[2, 100], 存在i 使得an = ai + d, i ∈[1, n −1], 若ak 与其之前中某一项相等, 则称ak 具有性质P. (1) 若a1 = 1, d = 2, 求a4 所有可能的值; (2) 若{an} 不是等差数列, 求证: {an} 中存在具有性质P 的项; (3) 若{an} 中恰有三项具有性质P, 这三项和为C, 试用a, d, c 表示 a1 + a2 + · · · + a100. 1106

原卷配图（含真实几何/应用题图示）