2019年全国1（文科）

本卷为官方高考数学真题（2019年全国1（文科）），共 23 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 设z = 3 −i 1 + 2i, 则|z| = ( ) (B) √ 3 (C) √ 2 5分
   A. 2 D. 1
2. 2. 已知集合U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, A = {2, 3, 4, 5}, B = {2, 3, 6, 7}, 则B ∩∁UA = ( ) 5分
   A. {1, 6} B. {1, 7} C. {6, 7} D. {1, 6, 7}
3. 3. 已知a = log20.2, b = 20.2, c = 0.20.3, 则 ( ) 5分
   A. a < b < c B. a < c < b C. c < a < b D. b < c < a
4. 4. 古希腊时期, 人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度 之比是 √ 5 −1 2 ( √ 5 −1 2 ≈0.618, 称为黄金分割比例), 著名的“断臂维纳 斯”便是如此. 此外, 最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之 比也是 √ 5 −1 2 . 若某人满足上述两个黄金分割比例, 且腿长为105 cm, 头 顶至脖子下端的长度为26 cm, 则其身高可能是 ( ) 5分
   A. 165 cm B. 175 cm C. 185 cm D. 190 cm
5. 5. 函数f (x) = sin x + x cos x + x2 在[−π, π] 的图象大致为 ( ) (A) x −π π 1 y O (B) x −π π 1 y O (C) x −π π 1 y O (D) x −π π 1 y O 5分
6. 6. 某学校为了解1000 名新生的身体素质, 将这些学生编号为1, 2, · · · , 1000, 从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100 名学生进行体质测验. 若46 号学生被抽到, 则下面4 名学生中被抽到的是 ( ) 5分
   A. 8 号学生 B. 200 号学生 C. 616 号学生 D. 815 号学生
7. 7. tan 255◦= ( ) √ 3 √ 3 √ 3 √ 3 5分
   A. −2 − B. −2 + C. 2 − D. 2 +
8. 8. 已知非零向量a, b 满足|a| = 2|b|, 且(a −b) ⊥b, 则a 与b 的夹角为( ) 6 3 3 6 5分
   A. π B. π C. 2π D. 5π
9. 9. 如图是求 1 2 + 1 2 + 1 2 的程序框图, 图中空白框中应填入 ( ) 开始 2 k = 1 k ⩽2 k = k + 1 输出A 结束 是 否 1 2 + A A 1 1 + 2A 2A 5分
   A. = 1 A. A = B. A = 2 + 1 C. A = D. A = 1 + 1
10. 10. 双曲线C: x2 a2 −y2 b2 = 1 (a > 0, b > 0) 的一条渐近线的倾斜角为130◦, 则 ( ) (C) 1 sin 50◦ (D) 1 cos 50◦ 5分
    C. 的离心率为 A. 2 sin 40◦ B. 2 cos 40◦
11. 11. △ABC 的内角A, B, C 的对边分别为a, b, c, 已知a sin A −b sin B = 4c sin C, cos A = −1 4, 则b ( ) 5分
    C. = A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
12. 12. 已知椭圆C 的焦点为F1 (−1, 0), F2 (1, 0), 过F2 的直线与C 交于A, B 两点. 若|AF2| = 2|F2B|, |AB| = |BF1|, 则C 的方程为 ( ) 2 + y2 = 1 3 + y2 2 = 1 4 + y2 3 = 1 5 + y2 4 = 1 5分
    A. x2 B. x2 C. x2 D. x2

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 曲线y = 3 (x2 + x) ex 在点(0, 0) 处的切线方程为 . 5分
2. 2. 记Sn 为等比数列{an} 的前n 项和. 若a1 = 1, S3 = 3 4, 则S4 = . 5分
3. 3. 函数f (x) = sin ( 2x + 3π 2 ) −3 cos x 的最小值为 . 5分
4. 4. 已知∠ACB = 90◦, P 为平面ABC 外一点, PC = 2, 点P 到∠ACB 两 边AC, BC 的距离均为 √ 3, 那么P 到平面ABC 的距离为 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 7 题）

1. 1. 某商场为提高服务质量, 随机调査了50 名男顾客和50 名女顾客, 每位顾 客对该商场的服务给出满意或不满意的评价, 得到如表列联表: 满意 不满意 男顾客 40 10 女顾客 30 20 (1) 分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率; (2) 能否有95% 的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异? 附: K2 = n (ad −bc)2 P (K2 ⩾k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828
2. 2. 记Sn 为等差数列{an} 的前n 项和, 已知S9 = −a5. (1) 若a3 = 4, 求{an} 的通项公式; (2) 若a1 > 0, 求使得Sn ⩾an 的n 的取值范围. 1095
3. 3. 如图, 直四棱柱ABCD −A1B1C1D1 的底面是菱形, AA1 = 4, AB = 2, ∠BAD = 60◦, E, M, N 分别是BC, BB1, A1D 的中点. (1) 证明: MN 平面C1DE; (2) 求点C 到平面C1DE 的距离. A B C D M N E A1 B1 C1 D1
4. 4. 已知函数f (x) = 2 sin x −x cos x −x, f ′ (x) 为f (x) 的导数. (1) 证明: f ′ (x) 在区间(0, π) 存在唯一零点; (2) 若x ∈[0, π] 时, f (x) ⩾ax, 求a 的取值范围.
5. 5. 已知点A, B 关于坐标原点O 对称, |AB| = 4, ⊙M 过点A, B 且与直线 x + 2 = 0 相切. (1) 若A 在直线x + y = 0 上, 求⊙M 的半径; (2) 是否存在定点P, 使得当A 运动时, |MA|−|MP| 为定值? 并说明理由.
6. 6. 在直角坐标系xOy 中, 曲线C 的参数方程为        x = 1 −t2 1 + t2 , y = 4t 1 + t2 , (t 为参数), 以 坐标原点O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 直线l 的极坐标 方程为2ρ cos θ + √ 3ρ sin θ + 11 = 0. (1) 求C 和l 的直角坐标方程; (2) 求C 上的点到l 距离的最小值.
7. 7. 已知a, b, c 为正数, 且满足abc = 1. 证明: (1) 1 (2) (a + b)3 + (b + c)3 + (c + a)3 ⩾24. 1096

原卷配图（含真实几何/应用题图示）