2019年全国1（理科）

本卷为官方高考数学真题（2019年全国1（理科）），共 23 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 已知集合M = {x | −4 < x < 2}, N = {x | x2 −x −6 < 0}, 则M ∩ N = ( ) 5分
   A. {x | −4 < x < 3} B. {x | −4 < x < −2} C. {x | −2 < x < 2} D. {x | 2 < x < 3}
2. 2. 设复数z 满足|z −i| = 1, z 在复平面内对应的点为(x, y), 则 ( ) 5分
   A. (x + 1)2 + y2 = 1 B. (x −1)2 + y2 = 1 C. x2 + (y −1)2 = 1 D. x2 + (y + 1)2 = 1
3. 3. 已知a = log20.2, b = 20.2, c = 0.20.3, 则 ( ) 5分
   A. a < b < c B. a < c < b C. c < a < b D. b < c < a
4. 4. 古希腊时期, 人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度 之比是 √ 5 −1 2 ( √ 5 −1 2 ≈0.618, 称为黄金分割比例), 著名的“断臂维纳 斯”便是如此. 此外, 最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之 比也是 √ 5 −1 2 . 若某人满足上述两个黄金分割比例, 且腿长为105 cm, 头 顶至脖子下端的长度为26 cm, 则其身高可能是 ( ) 5分
   A. 165 cm B. 175 cm C. 185 cm D. 190 cm
5. 5. 函数f (x) = sin x + x cos x + x2 在[−π, π] 的图象大致为 ( ) (A) x −π π 1 y O (B) x −π π 1 y O (C) x −π π 1 y O (D) x −π π 1 y O 5分
6. 6. 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化. 每一“重卦”由从下到上排列 的6 个爻组成, 爻分为阳爻“ ”和阴爻“ ”, 如图就是一重卦. 在所 有重卦中随机取一重卦, 则该重卦恰有3 个阳爻的概率是 ( ) 16 32 32 16 5分
   A. 5 B. 11 C. 21 D. 11
7. 7. 已知非零向量a, b 满足|a| = 2|b|, 且(a −b) ⊥b, 则a 与b 的夹角为( ) 6 3 3 6 5分
   A. π B. π C. 2π D. 5π
8. 8. 如图是求 1 2 + 1 2 + 1 2 的程序框图, 图中空白框中应填入 ( ) 开始 2 k = 1 k ⩽2 k = k + 1 输出A 结束 是 否 1 2 + A A 1 1 + 2A 2A 5分
   A. = 1 A. A = B. A = 2 + 1 C. A = D. A = 1 + 1
9. 9. 记Sn 为等差数列{an} 的前n 项和. 已知S4 = 0, a5 = 5, 则 ( ) 2n2−2n 5分
   A. an = 2n −5 B. an = 3n −10 (C) Sn = 2n2 −8n(D) Sn = 1
10. 10. 已知椭圆C 的焦点为F1 (−1, 0), F2 (1, 0), 过F2 的直线与C 交于A, B 两点. 若|AF2| = 2|F2B|, |AB| = |BF1|, 则C 的方程为 ( ) 2 + y2 = 1 3 + y2 2 = 1 4 + y2 3 = 1 5 + y2 4 = 1 5分
    A. x2 B. x2 C. x2 D. x2
11. 11. 关于函数f (x) = sin |x| + |sin x| 有下述四个结论: ①f (x) 是偶函数; ②f (x) 在区间 (π 2 , π ) 单调递增; ③f (x) 在[−π, π] 有4 个零点; ④f (x) 的最大值为2. 其中所有正确结论的编号是 ( ) 5分
    A. ①②④ B. ②④ C. ①④ D. ①③
12. 12. 已知三棱锥P −ABC 的四个顶点在球O 的球面上, PA = PB = PC, △ABC 是边长为2 的正三角形, E, F 分别是PA, AB 的中点, ∠CEF = 90◦, 则球O 的体积为 ( ) √ 6π √ 6π √ 6π (D) √ 6π 5分
    A. 8 B. 4 C. 2

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 曲线y = 3 (x2 + x) ex 在点(0, 0) 处的切线方程为 . 5分
2. 2. 记Sn 为等比数列{an} 的前n 项和. 若a1 = 1 3, a2 4 = a6, 则S5= . 5分
3. 3. 甲、乙两队进行篮球决赛, 采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时, 该队 获胜, 决赛结束). 根据前期比赛成绩, 甲队的主客场安排依次为“主主客客 主客主”. 设甲队主场取胜的概率为0.6, 客场取胜的概率为0.5, 且各场比 赛结果相互独立, 则甲队以4 : 1 获胜的概率是 . 5分
4. 4. 已知双曲线C: x2 a2 −y2 b2 = 1 (a > 0, b > 0) 的左、右焦点分别为F1, F2, 过F1 的直线与C 的两条渐近线分别交于A, B 两点. 若# » F1A = # » AB, # » F1B · # » F2B = 0, 则C 的离心率为 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 7 题）

1. 1. △ABC 的内角A, B, C 的对边分别为a, b, c, 设(sin B −sin C)2 = sin2 A −sin B sin C. (1) 求A; (2) 若 √ 2a + b = 2c, 求sin C.
2. 2. 如图, 直四棱柱ABCD −A1B1C1D1 的底面是菱形, AA1 = 4, AB = 2, ∠BAD = 60◦, E, M, N 分别是BC, BB1, A1D 的中点. (1) 证明: MN 平面C1DE; (2) 求二面角A −MA1 −N 的正弦值. A B C D M N E A1 B1 C1 D1 1093
3. 3. 已知抛物线C: y2 = 3x 的焦点为F, 斜率为3 2 的直线l 与C 的交点为 A, B, 与x 轴的交点为P. (1) 若|AF| + |BF| = 4, 求l 的方程; (2) 若# » AP = 3# » PB, 求|AB|.
4. 4. 已知函数f (x) = sin x −ln (1 + x), f ′ (x) 为f (x) 的导数. 证明: (1) f ′ (x) 在区间 ( −1, π 2 ) 存在唯一极大值点; (2) f (x) 有且仅有2 个零点.
5. 5. 为治疗某种疾病, 研制了甲、乙两种新药, 希望知道哪种新药更有效, 为此 进行动物试验. 试验方案如下: 每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验. 对于两只白鼠, 随机选一只施以甲药, 另一只施以乙药. 一轮的治疗结果得 出后, 再安排下一轮试验. 当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白 鼠多4 只时, 就停止试验, 并认为治愈只数多的药更有效. 为了方便描述问 题, 约定: 对于每轮试验, 若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈 则甲药得1 分, 乙药得−1 分; 若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠 未治愈则乙药得1 分, 甲药得−1 分; 若都治愈或都未治愈则两种药均得0 分. 甲、乙两种药的治愈率分别记为α 和β, 一轮试验中甲药的得分记为 X. (1) 求X 的分布列; (2) 若甲药、乙药在试验开始时都赋予4 分, pi (i = 0, 1, · · · , 8) 表示 “甲药的累计得分为i 时, 最终认为甲药比乙药更有效”的概率, 则p0 = 0, p8 = 1, pi = api−1 +bpi +cpi+1 (i = 1, 2, · · · , 7), 其中a = P (X = −1), ①证明: {pi+1 −pi} (i = 0, 1, 2, · · · , 7) 为等比数列; ②求p4, 并根据p4 的值解释这种试验方案的合理性.
6. 6. 在直角坐标系xOy 中, 曲线C 的参数方程为        x = 1 −t2 1 + t2 , y = 4t 1 + t2 , (t 为参数), 以 坐标原点O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 直线l 的极坐标 方程为2ρ cos θ + √ 3ρ sin θ + 11 = 0. (1) 求C 和l 的直角坐标方程; (2) 求C 上的点到l 距离的最小值.
7. 7. 已知a, b, c 为正数, 且满足abc = 1. 证明: (1) 1 (2) (a + b)3 + (b + c)3 + (c + a)3 ⩾24. 1094

原卷配图（含真实几何/应用题图示）