2019年全国2（文科）

本卷为官方高考数学真题（2019年全国2（文科）），共 23 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 已知集合A = {x | x > −1}, B = {x | x < 2}, 则A ∩B = ( ) 5分
   A. (−1, +∞) B. (−∞, 2) C. (−1, 2) D. ∅
2. 2. 设z = i (2 + i), 则z = ( ) 5分
   A. 1 + 2i B. −1 + 2i C. 1 −2i D. −1 −2i
3. 3. 已知向量a = (2, 3), b = (3, 2), 则|a −b| = ( ) (A) √ 2 √ 2 5分
   B. 2 C. 5 D. 50
4. 4. 生物实验室有5 只兔子, 其中只有3 只测量过某项指标, 若从这5 只兔子 中随机取出3 只, 则恰有2 只测量过该指标的概率为 ( ) 3 5 5 5 5分
   A. 2 B. 3 C. 2 D. 1
5. 5. 在“一带一路”知识测验后, 甲、乙、丙三人对成绩进行预测. 甲: 我的成绩比乙高. 乙: 丙的成绩比我和甲的都高. 丙: 我的成绩比乙高. 成绩公布后, 三人成绩互不相同且只有一个人预测正确, 那么三人按成绩 由高到低的次序为 ( ) 5分
   A. 甲、乙、丙 B. 乙、甲、丙 C. 丙、乙、甲 D. 甲、丙、乙
6. 6. 设f (x) 为奇函数, 且当x ⩾0 时, f (x) = ex−1, 则当x < 0 时, f (x) =( ) 5分
   A. e−x −1 B. e−x + 1 C. −e−x −1 D. −e−x + 1
7. 7. 设α, β 为两个平面, 则α β 的充要条件是 ( ) 5分
   A. α 内有无数条直线与β 平行 B. α 内有两条相交直线与β 平行 C. α, β 平行于同一条直线 D. α, β 垂直于同一平面
8. 8. 若x1 = π 4 , x2 = 3π 4 是函数f (x) = sin ωx (ω > 0) 两个相邻的极值点, 则 ω = ( ) 2 2 5分
   A. 2 B. 3 C. 1 D. 1
9. 9. 若抛物线y2 = 2px (p > 0) 的焦点是椭圆x2 3p + y2 p = 1 的一个焦点, 则 p = ( ) 5分
   A. 2 B. 3 C. 4 D. 8
10. 10. 曲线y = 2 sin x + cos x 在点(π, −1) 处的切线方程为 ( ) 5分
    A. x −y −π −1 = 0 B. 2x −y −2π −1 = 0 C. 2x + y −2π + 1 = 0 D. x + y −π + 1 = 0
11. 11. 已知α ∈ ( 0, π 2 ) , 2 sin 2α = cos 2α + 1, 则sin α = ( ) 5 (B) √ 5 5 (C) √ 3 3 √ 5 5 5分
    A. 1 D. 2
12. 12. 设F 为双曲线C: x2 a2 −y2 b2 = 1 (a > 0, b > 0) 的右焦点, O 为坐标原点, 以OF 为直径的圆与圆x2 + y2 = a2 交于P, Q 两点. 若|PQ| = |OF|, 则 ( ) (A) √ 2 (B) √ 3 (D) √ 5 5分
    C. 的离心率为 C. 2

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 若变量x, y 满足约束条件        2x + 3y −6 ⩾0, x + y −3 ⩽0, y −2 ⩽0, 则z = 3x −y 的最大值 是 . 5分
2. 2. 我国高铁发展迅速, 技术先进. 经统计, 在经停某站的高铁列车中, 有10 个 车次的正点率为0.97, 有20 个车次的正点率为0.98, 有10 个车次的正点 率为0.99, 则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为 . 5分
3. 3. △ABC 的内角A, B, C 的对边分别为a, b, c. 已知b sin A + a cos B = 0, 则B = . 5分
4. 4. 中国有悠久的金石文化, 印信是金石文化的代表之一. 印信的形状多为长 方体、正方体或圆柱体, 但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多 面体”(图1). 半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体. 半正多面体体现了数学的对称美. 图2 是一个棱数为48 的半正多面体, 它 的所有顶点都在同一个正方体的表面上, 且此正方体的棱长为1. 则该半正 多面体共有 个面, 其棱长为 . 图1 图2 5分

解答题（分值见原卷）（共 7 题）

1. 1. 如图, 长方体ABCD–A1B1C1D1 的底面ABCD 是正方形, 点E 在棱 AA1 上, BE ⊥EC1. (1) 证明: BE ⊥平面EB1C1; (2) 若AE = A1E, AB = 3, 求四棱锥E −BB1C1C 的体积. A B C D E A1 B1 C1 D1
2. 2. 已知{an} 是各项均为正数的等比数列, a1 = 2, a3 = 2a2 + 16. (1) 求{an} 的通项公式; (2) 设bn = log2an, 求数列{bn} 的前n 项和. 1099
3. 3. 某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况, 随机调查了100 个企 业, 得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y 的频数分 布表. y 的分组 [−0.20, 0) [0, 0.20) [0.20, 0.40) [0.40, 0.60) [0.60, 0.80) 企业数 2 24 53 14 7 (1) 分别估计这类企业中产值增长率不低于40% 的企业比例、产值负增长 的企业比例; (2) 求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据 用该组区间的中点值为代表). (精确到0.01) 附: √ 74 ≈8.602.
4. 4. 已知F1, F2 是椭圆C: x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 的两个焦点, P 为C 上 一点, O 为坐标原点. (1) 若△POF2 为等边三角形, 求C 的离心率; (2) 如果存在点P, 使得PF1 ⊥PF2, 且△F1PF2 的面积等于16, 求b 的 值和a 的取值范围.
5. 5. 已知函数f (x) = (x −1) ln x −x −1. 证明: (1) f (x) 存在唯一的极值点; (2) f (x) = 0 有且仅有两个实根, 且两个实根互为倒数.
6. 6. 在极坐标系中, O 为极点, 点M (ρ0, θ0) (ρ0 > 0) 在曲线C: ρ = 4 sin θ 上, 直线l 过点A (4, 0) 且与OM 垂直, 垂足为P. (1) 当θ0 = π 3 时, 求ρ0 及l 的极坐标方程; (2) 当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时, 求P 点轨迹的极坐标方程.
7. 7. 已知f (x) = |x −a|x + |x −2| (x −a). (1) 当a = 1 时, 求不等式f (x) < 0 的解集; (2) 若x ∈(−∞, 1] 时, f (x) < 0, 求a 的取值范围. 1100

原卷配图（含真实几何/应用题图示）